Réponse:
1. f'(-1) = 0 ( tangente au point d'abscisse -1 parallèle à l'axe des abscisses)
2. f'(x) < 0 lorsque f est décroissante donc sur
[-4;-1] union [ 1,5;2]
3. dérivée d'un produit uv avec u= -x^2+2,5x-1 et v=e^x
(uv)' = u'v + uv'
donc f'(x) = (-2x +2,5 ) * e^x + (-x^2+2,5x-1) * e^x
= ( -2x +2,5 -x^2+2,5x-1 ) * e^x
= ( -x^2 +0,5x +1,5)*e^x cqfd
e^x >0 pour tout x donc le signe de f'(x) est celui du trinôme -x^2 +0,5x +1,5 sur [-4;2]
on résout d'abord -x^2 +0,5x +1,5 = 0
delta = 0,25 -4*(-1)*1,5 = 6,25
delta>0 donc 2 racines
x1 = ( -0,5+2,5)/(-2) = -1
x2 = (-0,5-2,5)/(-2) = 1,5
trinôme négatif à l'extérieur des racines donc sur
[-4;-1] union [ 1,5;2] et positif sur [-1 ; 1,5] ce qui confirme l'étude précédente
reste à calculer f(-4) , f(-1) , f(1,5) et f(2) pour compléter le tableau de variation, je vous laisse le soin de le faire
bon courage
