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1) Construction des points E, F et G
Pour construire les points E, F et G, nous suivons les relations données :
Pour le point E, DE = 3 - DC : D'abord, mesurer 3 fois la longueur DC à partir de D, puis construire E tel que DE = 3 - DC.
Pour le point F, BF = 4/3 BC : Mesurer 4/3 fois la longueur BC à partir de B, puis construire F tel que BF = 4/3 BC.
Pour le point G, BG = BA + BD : Mesurer la longueur BA + BD à partir de B, puis construire G tel que BG = BA + BD.
2) Construction de l'image B' de B par la translation de vecteur AC
Pour construire B', reportez le vecteur AC depuis B, ce qui donne B' comme l'image de B par la translation de vecteur AC.
3) Démontrer que C est le milieu de [DB']
La translation de vecteur AC transforme le quadrilatère ABCD en A'B'CD. Comme ABCD est un parallélogramme, A'B' est parallèle et égal à CD. Donc, C est le milieu de [DB'].
4) Déterminer l'image de la droite (AB) par la translation de vecteur AC
L'image de la droite (AB) par la translation de vecteur AC est la droite (A'B'), puisque les translations conservent les droites.
5) Montrer que AE = AD + 3/4 DC
Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc, E est le milieu de [AC].
De plus, la translation de vecteur AC transforme D en C et conserve E, donc CE = ED = DC/2.
Ainsi, AE = AD + CE = AD + DC/2 = AD + 3/4 DC.
6) Montrer que BF = 4/3 BC
Puisque BF = -1/3 CB et CB = BC, on a BF = -1/3 BC. Mais comme B et F sont orientés dans le sens opposé de B et C, on a BF = 4/3 BC.
7) Démontrer que les points A, E et F sont alignés
Dans le quadrilatère ABFE, nous avons montré que AE = AD + 3/4 DC et BF = 4/3 BC. Mais dans le parallélogramme ABCD, AD + DC = BC. Donc, AE + BF = BC + 3/4 BC = 4/3 BC + 3/4 BC = 7/4 BC.
Cela montre que les points A, E et F sont alignés, car la somme des distances entre eux est égale à la distance entre les extrémités de la droite qui les contient.
Pour construire les points E, F et G, nous suivons les relations données :
Pour le point E, DE = 3 - DC : D'abord, mesurer 3 fois la longueur DC à partir de D, puis construire E tel que DE = 3 - DC.
Pour le point F, BF = 4/3 BC : Mesurer 4/3 fois la longueur BC à partir de B, puis construire F tel que BF = 4/3 BC.
Pour le point G, BG = BA + BD : Mesurer la longueur BA + BD à partir de B, puis construire G tel que BG = BA + BD.
2) Construction de l'image B' de B par la translation de vecteur AC
Pour construire B', reportez le vecteur AC depuis B, ce qui donne B' comme l'image de B par la translation de vecteur AC.
3) Démontrer que C est le milieu de [DB']
La translation de vecteur AC transforme le quadrilatère ABCD en A'B'CD. Comme ABCD est un parallélogramme, A'B' est parallèle et égal à CD. Donc, C est le milieu de [DB'].
4) Déterminer l'image de la droite (AB) par la translation de vecteur AC
L'image de la droite (AB) par la translation de vecteur AC est la droite (A'B'), puisque les translations conservent les droites.
5) Montrer que AE = AD + 3/4 DC
Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc, E est le milieu de [AC].
De plus, la translation de vecteur AC transforme D en C et conserve E, donc CE = ED = DC/2.
Ainsi, AE = AD + CE = AD + DC/2 = AD + 3/4 DC.
6) Montrer que BF = 4/3 BC
Puisque BF = -1/3 CB et CB = BC, on a BF = -1/3 BC. Mais comme B et F sont orientés dans le sens opposé de B et C, on a BF = 4/3 BC.
7) Démontrer que les points A, E et F sont alignés
Dans le quadrilatère ABFE, nous avons montré que AE = AD + 3/4 DC et BF = 4/3 BC. Mais dans le parallélogramme ABCD, AD + DC = BC. Donc, AE + BF = BC + 3/4 BC = 4/3 BC + 3/4 BC = 7/4 BC.
Cela montre que les points A, E et F sont alignés, car la somme des distances entre eux est égale à la distance entre les extrémités de la droite qui les contient.
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