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Réponse:
a. La nature de cette section est un cercle. Lorsqu'un plan coupe une sphère de manière à être perpendiculaire à son diamètre, la section est un cercle.
b. Pour calculer la valeur exacte du rayon \( HA \), nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle \( OHA \):
\[ OA^2 = OH^2 + HA^2 \]
\[ 7^2 = 4^2 + HA^2 \]
\[ 49 = 16 + HA^2 \]
\[ HA^2 = 49 - 16 \]
\[ HA^2 = 33 \]
\[ HA = \sqrt{33} \approx 5.74 \, cm \]
c. Puisque \( O \) est le centre de la sphère et \( M \) est un point de la section, le triangle \( OOM \) est un triangle isocèle car \( OM \) est un rayon de la sphère et \( OO' \) est également un rayon, donc \( OM = OO' \).
b. Pour calculer la valeur exacte du rayon de la section, nous avons déjà trouvé \( HA \) dans la question précédente, qui est \( \sqrt{33} \) cm.
Pour obtenir la valeur arrondie au millimètre, nous arrondissons \( \sqrt{33} \) à \( 5.74 \) cm, donc le rayon de la section est d'environ \( 5.74 \) cm.
c. Pour calculer la mesure de l'angle \( O'OM \), nous utilisons la trigonométrie. Puisque \( O \) est le centre de la sphère, \( O'OM \) est un angle inscrit dans un cercle de rayon \( OM \). La mesure de cet angle est la moitié de la mesure de l'arc \( O'M \) dans le cercle.
En utilisant la formule \( \text{arc} = r \times \theta \), où \( r \) est le rayon et \( \theta \) est la mesure de l'angle en radians, nous avons:
\[ \text{arc} = OM \times \theta \]
\[ 2\pi = \sqrt{33} \times \theta \]
\[ \theta = \frac{2\pi}{\sqrt{33}} \]
Maintenant, nous convertissons cette mesure en degrés en utilisant le fait que \( 1 \, \text{rad} = \frac{180}{\pi} \, \text{degrés} \):
\[ \text{Angle en degrés} = \theta \times \frac{180}{\pi} \]
\[ \text{Angle en degrés} = \frac{2\pi}{\sqrt{33}} \times \frac{180}{\pi} \]
\[ \text{Angle en degrés} \approx 107.36^\circ \]
Donc, la mesure de l'angle \( O'OM \) est d'environ \( 107.36^\circ \) à 1° près.
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