Réponse:
1. Les valeurs possibles de X sont {0, 1, 2, 3}.
2. Voici l'arbre pondéré correspondant:
```
/ S \
/ S \ / F \
/ \ / \
S / \ / \ F
/ \ / \
| | | |
S S S F
| | | |
F S S F
| | | |
F F S F
| | | |
F F F S
```
Chaque nœud de l'arbre représente une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de succès de 0,3 et une probabilité d'échec de 0,7. Les branches de gauche représentent les succès et les branches de droite représentent les échecs. Les feuilles de l'arbre représentent les résultats possibles des trois épreuves de Bernoulli. Par exemple, la première feuille en haut à gauche représente le résultat "Succès, Succès, Succès", qui a une probabilité de (0,3)³.
3. Il y a trois chemins différents réalisant deux succès:
- Succès, Succès, Échec
- Succès, Échec, Succès
- Échec, Succès, Succès
4. Chacun de ces chemins a une probabilité de (0,3)²(0,7), soit 0,027. Cette probabilité est obtenue en multipliant la probabilité de succès (0,3) par elle-même deux fois pour les deux succès, et en multipliant par la probabilité d'échec (0,7) pour l'échec.
5. La probabilité de X = 2 est la somme des probabilités des trois chemins réalisant deux succès, soit 3 x 0,027 = 0,081. Cette probabilité peut aussi être calculée directement en utilisant la formule de la loi binomiale:
p(X = 2) = (3 parmi 2) x (0,3)² x (0,7)¹ = 3 x 0,09 x 0,7 = 0,189.
