Partie A:
1. En 2019, le prix d'une heure de cours est de 30€. Comme il y a 52 semaines dans une année, Aurélie payera:
30 € × 52 = 1560 € pour les cours de batterie de Clara en 2019.
2. u₀ = 30 €, car c'est le prix initial en 2019.
3. Chaque année, le prix augmente de 0,50 €. Donc, u_{n+1} = u_n + 0,50.
La suite (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u₀ = 30 et de raison 0,50.
4. La formule explicite d'une suite arithmétique est u_n = u₀ + nr, où r est la raison.
Donc, u_n = 30 + 0,50n.
5. Pour calculer la somme totale payée en 10 ans, nous pouvons utiliser la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique:
S = (n(a₁ + a_n))/2, où a₁ est le premier terme, a_n le dernier terme, et n le nombre de termes.
Ici, a₁ = u₀ = 30, a₁₀ = u₉ = 30 + 0,50 × 9 = 34,50, et n = 10.
S = (10(30 + 34,50))/2 = 322,50 × 52 = 16770 €.
Partie B:
1. v₀ = 30 €, v₁ = 30 × 1,01 = 30,30 €.
2. Chaque année, le prix est multiplié par 1,01. Donc, v_{n+1} = v_n × 1,01.
La suite (v_n) est une suite géométrique de premier terme v₀ = 30 et de raison 1,01.
3. La formule explicite d'une suite géométrique est v_n = v₀ × q^n, où q est la raison.
Donc, v_n = 30 × 1,01^n.
4. Pour déterminer en quelle année le prix aura doublé, nous cherchons n tel que v_n ≥ 60.
v <- 30
N <- 0
Tant que v < 60
v <- v * 1.01
N <- N + 1
Fin tant que
Afficher N
Le prix aura doublé en l'an 2019 + N.
5. Pour calculer la somme totale payée en 10 ans, nous pouvons utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique:
S = (a₁(1 - q^n))/(1 - q), où a₁ est le premier terme, q la raison, et n le nombre de termes.
Ici, a₁ = v₀ = 30, q = 1,01, et n = 10.
S = (30(1 - 1,01^10))/(1 - 1,01) ≈ 1611,71 × 52 = 83808,92 €.
