Bonjour ,
1)
(cos x + sin x )²+(cos x - sin x )²=
=cos ² x + 2*cos x*sin x + sin² x + cos² x -2*cos x * sin x + sin² x
=2(cos² x+ sin² x)
=2*1
=2
2)
D'après 1) , on a :
(cos x + sin x )²+ (1/2)²= 2
(cos x + sin x )²=2 -1/4
(cos x + sin x )²=8/4-1/4
(cos x + sin x )²=7/4
Ce qui donne 2 valeurs :
cos x + sin x=-√(7/4) ou cos x + sin x=√(7/4)
soit :
cos x + sin x=-√7/2 ou cos x + sin x=√7/2 ==>seul le 7 est sous la racine.
3)
On a donc 2 systèmes à résoudre .
1er système :
{cos x - sin x=1/2
{cos x + sin x=-√7/2
On ajoute membre à membre :
2cos x=1/2 -√7/2
2 cos x=(1-√7)/2
cos x=(1-√7)/4
---------------
Comme d'après l'énoncé : sin x =cos x-1/2 , alors :
sin x=(1-√7)/4-2/4=(1-√7-2)/4
sin x=(-1-√7)/4
---------------------
2ème système :
{cos x - sin x=1/2
{cos x + sin x=√7/2
On ajoute membre à membre :
2 cos x=(1+√7)/2
cos x=(1+√7)/4
Comme sin x=cos x-1/2 , alors :
sin x=(1+√7)/4-2/4=(1+√7-2)/4
sin x =(-1+√7)/4
Les deux couples sont donc :
1)
cos x=(1-√7)/4 et sin x=(-1-√7)/4
2)
cos x=(1+√7)/4 et sin x =(-1+√7)/4
