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Partie A -
1. Pour déterminer les limites de la fonction \( g(x) = x - x \ln(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0 et \( +\infty \):
a. Limite en 0:
\[ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} x - x \ln(x) = 0 - 0 \cdot (-\infty) = 0 \]
b. Limite en \( +\infty \):
Utilisons la règle de L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} x - x \ln(x) \]
\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\frac{1}{\ln(x)}} \]
Cette expression est de la forme \( \frac{\infty}{\infty} \), donc on peut appliquer la règle de L'Hôpital une fois:
\[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{-1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} -x = -\infty \]
2. Pour montrer que \( g \) est dérivable sur \( ]0; +\infty[ \) et calculer \( g'(x) \):
\( g(x) = x - x \ln(x) \)
Utilisons la règle du produit et la dérivée du logarithme:
\[ g'(x) = 1 - (x \cdot \frac{1}{x}) - (x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x))) \]
\[ = 1 - (1 + \ln(x)) = -\ln(x) \]
3. Pour dresser le tableau de variations de \( g \):
Pour \( g'(x) = -\ln(x) \), la dérivée est négative pour \( x > 1 \), donc \( g \) est décroissante sur \( ]1; +\infty[ \).
De plus, \( g'(x) \) n'est pas définie pour \( x \leq 0 \), donc \( g \) n'est pas dérivable sur \( ]0; 1[ \).
On peut conclure que \( g \) est décroissante sur \( ]1; +\infty[ \), mais elle n'est pas dérivable sur \( ]0; 1[ \).
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