Réponse :Tableau de valeurs pour B(x) : Pour obtenir un tableau de valeurs, nous allons calculer (B(x)) pour différentes valeurs de (x) avec un pas de 5. Voici le tableau de valeurs :
Tableau
(x) (B(x))
0 -2.61
5 39.89
10 77.39
15 109.89
20 137.39
25 159.89
30 177.39
35 189.89
40 197.39
45 199.89
50 197.39
55 189.89
60 177.39
Tracé de la courbe : En utilisant l’échelle indiquée (1 carreau ou 1 cm en abscisse pour 5, et 1 carreau ou 1 cm en ordonnée pour 20), nous pouvons tracer soigneusement la courbe de (B(x)) en reliant les points du tableau de valeurs. !Courbe B(x)
Tableau de variation de B : Pour dresser le tableau de variation de (B(x)) sur l’intervalle ([0 ; 60]), examinons les valeurs de (B(x)) aux extrémités et au point critique (où la dérivée s’annule).
(B(0) = -2.61)
(B(60) = 177.39)
La dérivée de (B(x)) est : [ B’(x) = -0.2x + 9 ] Pour trouver le point critique, résolvons (B’(x) = 0): [ -0.2x + 9 = 0 ] [ x = 45 ]
(B(45) = 199.89)
Le tableau de variation est le suivant :
Tableau
(x) (B(x)) Variation de (B(x))
0 -2.61 Augmentation
45 199.89 Maximum
60 177.39 Diminution
Conjecture graphique pour le bénéfice maximum : D’après le graphique, le bénéfice semble atteindre un maximum autour de (x = 45). Donc, la production de (45) centaines de boîtes pourrait donner le bénéfice maximum. Le bénéfice maximum (B_m) est (199.89) centaines d’euros.
Vérification de (B(x) - B_m = -0.1(x - 45)^2) : Calculons (B(x) - B_m) : [ B(x) - B_m = -0.1x^2 + 9x - 2.61 - 199.89 = -0.1(x - 45)^2 ] La vérification est correcte.
Conclusion : Comme (B(x) - B_m) est une expression quadratique négative, cela confirme que (B_m) est bien le bénéfice maximum.
J’espère que cela vous aide à résoudre cet exercice !
Explications étape par étape :
