Réponse :
Voilà pour toi !
Explications étape par étape :
1. Pour déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CD, nous soustrayons les coordonnées des points de départ des coordonnées des points d'arrivée :
AB = (x_B - x_A, y_B - y_A)
= (-2 - (-7/2), 5 - 2)
= (-2 + 7/2, 3)
= (3/2, 3)
CD = (x_D - x_C, y_D - y_C)
= (3 - 5, 5/2 - 13/2)
= (-2, -4)
Ainsi, les coordonnées des vecteurs AB et CD sont respectivement (3/2, 3) et (-2, -4).
2. Pour montrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze, nous devons vérifier si les côtés opposés sont parallèles. Les côtés AB et CD sont parallèles si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Pour cela, nous pouvons vérifier si les coordonnées des vecteurs AB et CD sont proportionnelles :
AB/CD = (3/2, 3)/(-2, -4)
= (3/2) / (-2, -4)
= (3/2) * (-1/2, -1)
= (-3/4, -3/2)
Comme les coordonnées des vecteurs AB et CD ne sont pas proportionnelles, les côtés AB et CD ne sont pas parallèles. Par conséquent, le quadrilatère ABCD n'est pas un trapèze.
3. Pour trouver les coordonnées du point I, nous utilisons la formule des coordonnées d'un vecteur :
I = A + (3/4) * CD'
= A + (3/4) * (-CD)
= A + (3/4) * (2, 4)
= A + (3/2, 3)
= (-7/2, 2) + (3/2, 3)
= (-7/2 + 3/2, 2 + 3)
= (-4, 5)
Ainsi, les coordonnées du point I sont (-4, 5).
4. Pour vérifier si les points I, B et C sont alignés, nous devons vérifier si les vecteurs IB et IC sont colinéaires. Les vecteurs IB et IC sont colinéaires si les coordonnées des vecteurs IB et IC sont proportionnelles.
IB = (x_B - x_I, y_B - y_I)
= (-2 - (-4), 5 - 5)
= (2, 0)
= (2, 0)
IC = (x_C - x_I, y_C - y_I)
= (5 - (-4), 13/2 - 5)
= (9, 1/2)
Les coordonnées des vecteurs IB et IC ne sont pas proportionnelles, donc les points I, B et C ne sont pas alignés.
5. Pour trouver les coordonnées des points J et K, nous utilisons les formules des coordonnées des milieux :
J = (1/2) * (A + B)
= (1/2) * ((-7/2, 2) + (-2, 5))
= (1/2) * (-7/2 - 4, 2 + 5)
= (1/2) * (-15/2, 7)
= (-15/4, 7/2)
K = (1/2) * (C + D)
= (1/2) * ((5, 13/2) + (3, 5/2))
= (1/2) * (5 + 3, 13/2 + 5/2)
= (1/2) * (8, 9)
= (4, 9/2)
Pour montrer que les points I, J et K sont alignés, nous pouvons vérifier si les vecteurs IJ et JK sont colinéaires. Les vecteurs IJ et JK sont colinéaires si les coordonnées des vecteurs IJ et JK sont proportionnelles.
IJ = (x_J - x_I, y_J - y_I)
= (-15/4 - (-4), 7/2 - 5)
= (-15/4 + 16/4, 7/2 - 10/2)
= (1/4, -3/2)
JK = (x_K - x_J, y_K - y_J)
= (4 - (-15/4), 9/2 - 7/2)
= (16/4 + 15/4, 9/2 - 7/2)
= (31/4, 2/2)
= (31/4, 1)
Les coordonnées des vecteurs IJ et JK ne sont pas proportionnelles, donc les points I, J et K ne sont pas alignés.
