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Explications étape par étape:
a) Pour \( x = 1 \) cm :
L'aire du carré original est \( 4 \times 4 = 16 \) cm\(^2\). En retirant un carré de côté 1 cm à chaque coin, la nouvelle aire est :
\[ A = 16 - 4 \times 1 \times 1 = 16 - 4 = 12 \, \text{cm}^2 \]
b) Pour que le carré enlevé ne dépasse pas les côtés du carré original, \( x \) doit être compris entre 0 (pas de carré enlevé) et \( \frac{4}{2} = 2 \) cm (la moitié du côté du carré original).
c) L'aire de la croix peut être exprimée comme la somme de l'aire du carré original moins l'aire des quatre carrés enlevés :
\[ A = (4 \times 4) - 4 \times (x \times x) \]
\[ A = 16 - 4x^2 \]
d) Pour prouver que l'aire de la croix peut être calculée à l'aide de la formule donnée, nous pouvons remarquer que la croix est composée de quatre rectangles aux coins et d'un carré au centre.
L'aire des quatre rectangles est \( 4 \times (4 - 2x) \times x \), car ils ont une longueur de \( 4 - 2x \) (la longueur du côté du carré original moins la longueur du côté du carré enlevé) et une largeur de \( x \).
L'aire du carré au centre est \( (4 - 2x) \times (4 - 2x) \), car il a un côté de longueur \( 4 - 2x \).
En additionnant les aires des rectangles et du carré au centre, nous obtenons :
\[ A = 4(4 - 2x) + 2x(4 - 2x) \]
\[ A = 16 - 8x + 8x - 4x^2 \]
\[ A = 16 - 4x^2 \]
Ce qui correspond à l'expression que nous avons obtenue précédemment pour \( A \).
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