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résolu

coucou aider moi svp

Exercice 2
Dans cet exercice on s'intéresse aux factures comptabilisées
chaque mois dans un garage.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 103.
A la fin d'un mois donné, on considère une liasse importante
de factures. On note E l'événement: « une facture prélevée au
hasard dans la liasse de factures est erronée ».
On suppose que P(E)=0,03.
On prélève au hasard 10 factures dans la liasse pour vérifica-
tion. La liasse contient assez de factures pour qu'on puisse
assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 fac-
tures. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélè-
vement ainsi défini, associe le nombre de factures
erronées
de ce prélèvement.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale
dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'aucune facture de ce prélèvement
ne soit erronée.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au
plus deux factures solent erronées.
INDICATION
On donne:
(10)=1; (19)=10; (2)=45.

Répondre :

1. Pour justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale, nous devons vérifier les conditions suivantes :
Les essais sont indépendants (ce qui est le cas ici, car nous prélevons avec remise).
La probabilité de succès est constante (ce qui est également le cas ici, car la probabilité d’erreur reste la même pour chaque facture).
La variable aléatoire X compte le nombre de factures erronées, donc elle suit une loi binomiale de paramètres n (nombre d’essais) et p (probabilité d’erreur). Ici, n = 10 (nombre de factures prélevées) et p = 0,03 (probabilité d’erreur).
La probabilité qu’aucune facture de ce prélèvement ne soit erronée est donnée par la formule de la loi binomiale : [ P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0,03)^0 \cdot (1 - 0,03)^{10} ] Calculons : [ C(10, 0) = 1 ] [ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,97^{10} \approx 0,737 ]
La probabilité qu’au plus deux factures soient erronées est donnée par la somme des probabilités de 0, 1 et 2 factures erronées : [ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ] Calculons : [ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0,03)^1 \cdot (1 - 0,03)^9 ] [ P(X = 2) = C(10, 2) \cdot (0,03)^2 \cdot (1 - 0,03)^8 ] [ P(X \leq 2) \approx 0,737 + 0,241 + 0,021 \approx 1 ]
En résumé :
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,03.
La probabilité qu’aucune facture ne soit erronée est d’environ 0,737.
La probabilité qu’au plus deux factures soient erronées est d’environ 1.
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