Bonjour ,
1)
a)
Par définition dans un triangle rectangle :
sin A=opposé / hypoténuse=BC/AB
cos A=adjacent / hypoténuse=AC/AB
b)
tan A= opposé / adjacent= BC/AC
Mais :
sin A /cos A= (BC/AB)/(AC)/(AB)=(BC/AB)(AB/AC)=BC/AC=tan A
Donc :
tan A=sin A/ cos A
2)
a)
Sur ]-π;π] , cos x=0 <==> x=-π/2 ou x=π/2
b)
Sur R , cos x=0 ==> x=π/2+k*π ( k ∈ Z , entier relatif)
c)
La fct tangente est donc définie sur : R-{π/2+k*π)
D= R - { π/2+k*π}
3)
tan x=sin x / cos x
tan(-x)=sin (-x)/(cos (-x)
Mais sin (-x)=- sin x et cos (-x)=cos x.
Donc :
tan (-x)=- sin x/ cos x
tan (-x)=- tan x.
Ce qui prouve que la fct "tan x" est impaire.
c)
sin (π+x)=- sin x
cos (π+x)=- cos x
tan (π+x)=sin (π+x) / cos (π+x) = -sin x / -cos x =sin x / cos x =tan x
Ce qui prouve que la fct "tan x" est π-périodique.
4)
a)
tan 0 =0
tan π/6=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3
tan π/4=(√2/2)/(√2/2)=1
tan π/3=(√3/2)/(1/2)=√3
b)
tan x =sin x / cos x : de la forme u/v.
u=sin x donc u'=cos x
v=cos x donc v '=-sin x
tan ' (x)=[cos²x - (-sin²x) ]/ cos²x=(cos²x + sin²x)/cos²x
tan ' (x)=1/cos²x
c)
x----------->0..................................π/2
tan ' (x).....>..............+....................
tan '(x)---->√3/3........C..............√3
C=flèche vers le haut.
d)
Joint.
