Bien sûr, je peux vous aider avec cet exercice.
Pour que (ABCD) soit un parallélogramme, les vecteurs
A
B
→
AB
et
D
C
→
DC
doivent être égaux. Donc, les coordonnées de
D
D doivent être telles que
A
B
→
=
D
C
→
AB
=
DC
. Calculons d'abord
A
B
→
AB
:
A
B
→
=
(
x
B
−
x
A
,
y
B
−
y
A
)
=
(
4
−
(
−
1
)
,
−
2
−
1
)
=
(
5
,
−
3
)
AB
=(x
B
−x
A
,y
B
−y
A
)=(4−(−1),−2−1)=(5,−3)
Maintenant, pour que
A
B
→
=
D
C
→
AB
=
DC
, les coordonnées de
D
D doivent être telles que :
(
x
C
−
x
D
,
y
C
−
y
D
)
=
(
5
,
−
3
)
(x
C
−x
D
,y
C
−y
D
)=(5,−3)
En utilisant les coordonnées de
C
C, nous obtenons :
(
9
−
x
D
,
3
−
y
D
)
=
(
5
,
−
3
)
(9−x
D
,3−y
D
)=(5,−3)
Il en résulte que
x
D
=
9
−
5
=
4
x
D
=9−5=4 et
y
D
=
3
+
3
=
6
y
D
=3+3=6, donc les coordonnées de
D
D sont
D
(
4
,
6
)
D(4,6).
Pour trouver les coordonnées de
E
E et
G
G, nous devons d'abord trouver
B
B.
B
B est simplement le milieu de
A
D
AD car
A
B
C
D
ABCD est un parallélogramme. Donc, les coordonnées de
B
B sont
(
x
A
+
x
D
2
,
y
A
+
y
D
2
)
(
2
x
A
+x
D
,
2
y
A
+y
D
). En substituant les valeurs, nous trouvons que
B
(
1.5
,
3.5
)
B(1.5,3.5).
Maintenant, pour trouver
E
E, nous multiplions les coordonnées de
B
B par
3
2
2
3
et les coordonnées de
D
D par
1
2
2
1
et additionnons les résultats. Donc, les coordonnées de
E
E sont
(
3
2
⋅
4
+
1
2
⋅
−
1
,
3
2
⋅
6
+
1
2
⋅
1
)
=
(
6.5
,
9.5
)
(
2
3
⋅4+
2
1
⋅−1,
2
3
⋅6+
2
1
⋅1)=(6.5,9.5).
Pour trouver
G
G, nous multiplions les coordonnées de
B
B par
−
1
2
−
2
1
et les coordonnées de
D
D par
1
2
2
1
et additionnons les résultats. Donc, les coordonnées de
G
G sont
(
−
1
2
⋅
4
+
1
2
⋅
−
1
,
−
1
2
⋅
6
+
1
2
⋅
1
)
=
(
−
2.5
,
−
2.5
)
(−
2
1
⋅4+
2
1
⋅−1,−
2
1
⋅6+
2
1
⋅1)=(−2.5,−2.5).
Pour que
E
F
G
H
EFGH soit un parallélogramme, les vecteurs
E
F
→
EF
et
H
G
→
HG
doivent être égaux. Calculons d'abord ces vecteurs :
E
F
→
=
(
x
F
−
x
E
,
y
F
−
y
E
)
=
(
6
−
6.5
,
2
−
9.5
)
=
(
−
0.5
,
−
7.5
)
EF
=(x
F
−x
E
,y
F
−y
E
)=(6−6.5,2−9.5)=(−0.5,−7.5)
H
G
→
=
(
x
G
−
x
H
,
y
G
−
y
H
)
=
(
−
2.5
−
x
H
,
−
2.5
−
y
H
)
HG
=(x
G
−x
H
,y
G
−y
H
)=(−2.5−x
H
,−2.5−y
H
)
Pour que
E
F
→
=
H
G
→
EF
=
HG
, les coordonnées de
H
H doivent être telles que :
(
x
H
+
2.5
,
y
H
+
2.5
)
=
(
−
0.5
,
−
7.5
)
(x
H
+2.5,y
H
+2.5)=(−0.5,−7.5)
Il en résulte que
x
H
=
−
0.5
−
2.5
=
−
3
x
H
=−0.5−2.5=−3 et
y
H
=
−
7.5
−
2.5
=
−
10
y
H
=−7.5−2.5=−10, donc les coordonnées de
H
H sont
H
(
−
3
,
−
10
)
H(−3,−10).
Pour montrer que
E
F
G
H
EFGH est un losange, nous devons montrer que ses côtés sont égaux. Les côtés d'un parallélogramme sont égaux, donc
E
F
=
G
H
EF=GH et
F
G
=
E
H
FG=EH. Vous pouvez vérifier ces longueurs en calculant les distances entre les points.
Pour montrer que
E
F
G
H
EFGH est un carré, nous devons également montrer que ses angles sont droits. Une façon de le faire est de calculer les pentes de
E
F
EF et
E
H
EH, et de vérifier si leurs produits valent -1, ce qui indiquerait que les côtés sont perpendiculaires. Ensuite, vous pouvez vérifier si les longueurs des côtés sont égales pour confirmer que c'est un carré
