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Réponse:
1. Pour déterminer la loi de probabilité de X, nous devons calculer la probabilité de chaque gain possible :
- La probabilité de tirer une boule noire : \( P(X = 20) = \frac{2}{15} \)
- La probabilité de tirer une boule bleue : \( P(X = 10) = \frac{3}{15} \)
- La probabilité de tirer une boule rouge : \( P(X = 0) = \frac{4}{15} \)
- La probabilité de tirer une boule verte : \( P(X = -5) = \frac{6}{15} \)
2. Pour calculer l'espérance \(E(X)\), on utilise la formule :
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \]
\[ E(X) = 20 \cdot \frac{2}{15} + 10 \cdot \frac{3}{15} + 0 \cdot \frac{4}{15} - 5 \cdot \frac{6}{15} \]
\[ E(X) = \frac{40}{15} + \frac{30}{15} - \frac{30}{15} - \frac{30}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \]
Interprétation : En moyenne, en jouant au jeu 1, on gagne \( \frac{8}{3} \) euros par mise de 5 euros.
3. Pour déterminer la loi de probabilité de Y, nous devons calculer la probabilité de chaque gain possible en fonction de m :
- Si on obtient 5 ou 6 : \( P(Y = 3m) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- Si on obtient 3 ou 4 : \( P(Y = \frac{1}{2}m) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- Si on obtient 1 ou 2 : \( P(Y = -m) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
4. Pour que le jeu 2 soit plus intéressant en moyenne que le jeu 1, il faut que \(E(Y) > E(X)\). Donc, on doit résoudre :
\[ E(Y) = \frac{1}{3}(3m) + \frac{1}{3}(\frac{1}{2}m) + \frac{1}{3}(-m) \]
\[ E(Y) = m + \frac{1}{6}m - \frac{1}{3}m \]
\[ E(Y) = m + \frac{1}{6}m - \frac{2}{6}m \]
\[ E(Y) = m - \frac{1}{6}m \]
\[ E(Y) = \frac{5}{6}m \]
On doit alors avoir \( \frac{5}{6}m > \frac{8}{3} \), ce qui nous donne :
\[ m > \frac{8}{3} \times \frac{6}{5} \]
\[ m > \frac{48}{15} \]
\[ m > 3.2 \]
Donc, le jeu 2 est plus intéressant en moyenne que le jeu 1 si la mise est supérieure à 3.2 euros.
5. Voici un exemple d'algorithme pour simuler le jeu 1 en Python :
```python
import random
def jeu_1():
boules = ['noire', 'bleue', 'rouge', 'verte']
result = random.choice(boules)
if result == 'noire':
return 20
elif result == 'bleue':
return 10
elif result == 'rouge':
return 0
else:
return -5
def simulate_joueurs(iterations):
total_gain = 0
for _ in range(iterations):
total_gain += jeu_1()
return total_gain / iterations
# Exemple d'utilisation :
iterations = 10000
moyenne_gain = simulate_joueurs(iterations)
print("En moyenne, un joueur gagne", moyenne_gain, "euros en jouant au jeu 1 sur", iterations, "essais.")
```
Cet algorithme simule le jeu 1 en effectuant un grand nombre d'essais et en calculant la moyenne des gains obtenus.
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