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résolu

on considère la suite (Un) définie par :
U1=5 et (qu'elle que soit n appartient a N*) : Un+1 = 5Un-4/1+Un
1) Montrer par récurrence que :(qu'elle que soit n appartient a N*):Un>2
2)on considère la suite numérique (Vn)n appartient a N* définie par : (qu'elle que soit n appartient a N*): Vn=3/Un-2
a- Montrer que :(qu'elle que soit n appartient a N*):Vn+1=1+Un/Un-2
et montrer que la suite (Vn) est arithmétique de raison 1
b- Exprimer Vn en fonction de n et en déduire que :
(qu'elle que soit n appartient a N*):Un=2+3/n
c- Calculer lim Un
n tend vers +l'infinie ​

Répondre :


1) Pour montrer par récurrence que Un est toujours supérieur à 2 pour tout n appartenant à N*, tu dois suivre les étapes de la récurrence en vérifiant la propriété pour n=1, en supposant qu'elle est vraie pour un certain k, puis en montrant qu'elle est également vraie pour k+1.

2) Pour montrer que Vn+1 = 1 + Un / Un-2 et que la suite (Vn) est arithmétique de raison 1, utilise les définitions de Vn et Vn+1 pour démontrer cette relation.

Ensuite, pour exprimer Un en fonction de n et déduire que Un = 2 + 3/n, manipule les équations données pour isoler Un.

Enfin, pour calculer lim Un lorsque n tend vers l'infini, étudie le comportement de la suite Un en fonction de n pour déterminer sa limite.
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