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Problème de la vache paresseuse.
Considérons une vache paissant non loin d'une rivière.
Cette vache a très soif et un peu faim. Elle fait le projet
d'aller s'abreuver au bord de la rivière puis d'aller brouter
une marguerite qu'elle a aperçue dans l'herbe. Les différents
éléments de ce problème sont situés comme indiqué sur le
schéma suivant (V: position de la vache et M position de la
marguerite).
Le point A représente l'endroit où la vache va aller
s'abreuver. La vache étant paresseuse, elle cherche à
minimiser la longueur de son parcours et vous demande de
vous occuper du problème.
La vache se doute qu'elle devra aller en ligne droite de Và
A, puis de A à M, mais elle veut savoir où placer le point A
exactement.
La vache pose x = HA.
La vache vous demande d'exprimer la longueur L(x) du
parcours total envisagé en fonction de x, puis de tracer la
courbe de la fonction L sur votre calculatrice graphique, de
façon à avoir une bonne estimation de la valeur de x pour
laquelle le parcours est minimal.
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La vache n'est pas satisfaite de la précision obtenue.
Estimant que l'étude des variations de L est hors de portée
d'un élève de seconde, elle change son fusil d'épaule et
contre toute attente, vous invite à résoudre le problème par
la géométrie. Devant votre désarroi, elle vous suggère de
considérer le symétrique M' de M par rapport à la droite
(HK), vous signale que la construction de la position
optimale de A est accessible à un élève de sixième et que le
calcul de x (de la valeur de x pour laquelle le trajet de la
vache est minimal) ne dépasse pas le niveau de troisième.
Sur ce, elle attend goguenarde votre réponse.