1. Montrer que ABCD est un parallélogramme :
- Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, nous devons vérifier que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) ainsi que les vecteurs \(\vec{BC}\) et \(\vec{AD}\) sont égaux.
- Calculons les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CD}\) et \(\vec{AD}\) en utilisant les coordonnées des points A, B, C et D.
- Vérifions ensuite si \(\vec{AB} = \vec{CD}\) et \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
2. Calculer les coordonnées de M et de N :
- Pour trouver les coordonnées de M, nous utilisons la formule du milieu : \(M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\).
- Pour trouver les coordonnées de N, nous utilisons la donnée \(DN = \frac{1}{2} DC\) pour trouver les coordonnées de N en fonction de celles de D et C.
3. Montrer que les droites (MD) et (BN) sont parallèles :
- Nous vérifions si les vecteurs directeurs des droites (MD) et (BN) sont proportionnels.
4. Calculer les longueurs BM, BN et MN, puis déduire que le triangle MNB est rectangle :
- Calculons d'abord les longueurs BM et BN en utilisant la distance entre deux points.
- Puis calculons la longueur MN en utilisant les coordonnées de M et de N.
- Enfin, vérifions si \(BM^2 + MN^2 = BN^2\) pour montrer que MNB est rectangle.
5. En déduire la nature du quadrilatère MBND :
- Si MNB est rectangle en M, alors MBND est un rectangle. Si en plus MN est égal à BN, alors c'est un rectangle particulier, un carré.
