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résolu

Bonjour, j’aurai besoin d’aide pour mon DM de maths svp, merci d’avance !
Sujet:
Le centre de gravité d'un triangle ABC, ou isobarycentre, est le point G tel que pour tout
point O du plan, on ait :OA+OB+ OC = 30G
Soit G et G' les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF
respectivement.
(1) Montrer que AD + BE + CF = 3GG'.
(2) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles
aient le même centre de gravité.

Répondre :

SOTTONJEANNEEN

Bonjour! Bien sûr, je serais heureux de vous aider avec votre devoir de mathématiques.

Pour commencer, examinons le premier point :

(1) Pour montrer que AD + BE + CF = 3GG', nous pouvons utiliser le fait que G et G' sont les centres de gravité des triangles ABC et DEF respectivement.

Par définition, on sait que : OA + OB + OC = 3OG (pour le triangle ABC) et OD + OE + OF = 3OG' (pour le triangle DEF)

Maintenant, en utilisant le fait que AD = AO + OD, BE = BO + OE et CF = CO + OF, nous pouvons substituer ces expressions dans AD + BE + CF :

AD + BE + CF = (AO + OD) + (BO + OE) + (CO + OF) = (OA + OB + OC) + (OD + OE + OF) (en regroupant les termes) = 3OG + 3OG' = 3(GG') (puisque G et G' sont des points distincts, donc 3OG + 3OG' = 3(GG'))

Ainsi, nous avons montré que AD + BE + CF = 3GG'.

Passons maintenant à la deuxième partie :

(2) Pour que deux triangles aient le même centre de gravité, nous avons maintenant établi que AD + BE + CF = 3GG'.

Donc, une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité est que leur somme des distances des points de concours des médianes (AD, BE, CF) soit égale à trois fois la distance entre leurs centres de gravité (GG').

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