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OLIVIA4526EN
résolu

Exercice 1: Le secteur de production d'une entreprise est Composé de trois catégories de personnel: ⚫ les ingénieurs; les opérateurs de production; ⚫ les agents de maintenance Il y a 8% d'ingénieurs et 82% d'opérateurs de produc- tion. Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 25% agents de maintenance et 60% des opérateurs de Production. des Partie A Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note les événements: ⚫ M: « Le personnel interrogé est un agent de mainte- nance »; ⚫ O: « Le personnel interrogé est un opérateur de pro- duction >> ; 1: « Le personnel interrogé est un ingénieur >> ; ⚫ F: « Le personnel interrogé est une femme >>. 1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données. 2. Calculer la probabilité d'interroger: a. un agent de maintenance; b. une femme agent de maintenance; c. une femme. Partie B Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé à intervenir en cas de panne. Pour cela, une alame est prévue. Des études ont montré que sur une journée: ⚫ la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale 0,002; ⚫ la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003; • la probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04. On note A l'événement « L'alarme se déclenche » et B l'événement « Une panne se produit ». 1. Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,037. 2. Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche 3. Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alamme se déclenche Anandu au millième.​

Répondre :

Voici l'arbre pondéré correspondant aux données :
r
Copy code
0.08 (I) 0.92 (¬I)
/ \ / \
0.5 (F) 0.5 (¬F) 0.25 (F) 0.75 (¬F)
/ \ / \ / \ / \
0.04 0.04 0.46 0.46 0.015 0.015 0.585 0.585
M F M F M F M F
Où :

I: Le personnel interrogé est ingénieur
¬I: Le personnel interrogé n'est pas ingénieur (opérateur de production)
F: Le personnel interrogé est une femme
¬F: Le personnel interrogé n'est pas une femme (homme)
M: Le personnel interrogé est un agent de maintenance
¬M: Le personnel interrogé n'est pas un agent de maintenance
Calcul des probabilités :
a. La probabilité d'interroger un agent de maintenance est la somme des probabilités de deux branches de l'arbre associées à l'événement M :
P
(
M
)
=
P
(
I
)
×
P
(
M
∣
I
)
+
P
(
¬
I
)
×
P
(
M
∣
¬
I
)
=
0.08
×
0.25
+
0.92
×
0.015
=
0.02
+
0.0138
=
0.0338.
P(M)=P(I)×P(M∣I)+P(¬I)×P(M∣¬I)=0.08×0.25+0.92×0.015=0.02+0.0138=0.0338.

b. La probabilité d'interroger une femme agent de maintenance est la probabilité de l'intersection des événements F et M, divisée par la probabilité de l'événement M :
P
(
F
∩
M
)
=
P
(
I
)
×
P
(
F
∣
I
)
×
P
(
M
∣
I
)
=
0.08
×
0.5
×
0.25
=
0.01.
P(F∩M)=P(I)×P(F∣I)×P(M∣I)=0.08×0.5×0.25=0.01.

c. La probabilité d'interroger une femme est la somme des probabilités des branches de l'arbre associées à l'événement F :
P
(
F
)
=
P
(
I
)
×
P
(
F
∣
I
)
+
P
(
¬
I
)
×
P
(
F
∣
¬
I
)
=
0.08
×
0.5
+
0.92
×
0.015
=
0.04
+
0.0138
=
0.0538.
P(F)=P(I)×P(F∣I)+P(¬I)×P(F∣¬I)=0.08×0.5+0.92×0.015=0.04+0.0138=0.0538.

Partie B:

On a :
P
(
A
∩
B
)
=
0.002
P(A∩B)=0.002 (alarme se déclenche et panne survient)
P
(
B
∩
¬
A
)
=
0.003
P(B∩¬A)=0.003 (panne survient et alarme ne se déclenche pas)
P
(
B
)
=
0.04
P(B)=0.04 (probabilité qu'une panne se produise)
La probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est
P
(
A
∩
B
)
=
0.002
+
0.003
=
0.005
=
0.005
P(A∩B)=0.002+0.003=0.005=0.005.
La probabilité que l'alarme se déclenche est la somme des probabilités des branches de l'arbre associées à l'événement A :
P
(
A
)
=
P
(
A
∩
B
)
+
P
(
A
∩
¬
B
)
=
0.002
+
0.996
=
0.998.
P(A)=P(A∩B)+P(A∩¬B)=0.002+0.996=0.998.
La probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche est donnée par la formule de Bayes :
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
×
P
(
B
)
P
(
A
)
=
0.002
0.998
≈
0.002004.
P(B∣A)=
P(A)
P(A∣B)×P(B)
​
=
0.998
0.002
​
≈
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