Partie A
Somme des n premiers carrés. Pour tout entier naturel n, on considère les sommes suivantes :
• Sn = 1+ 2+ 3+ ... + n .
Dn 1+22+32 + ... + n² .
Tn = 1 + 23 + 33 +..+n3 1.
Rappeler la propriété du cours permettant de calculer Sn.
2. Montrer que Tn+1 - Tn = (n + 1)³.
3. a. Montrer que (n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1. On notera cette égalité (En).
b. En ajoutant membre à membre les égalités (En), (En-1), ..., (E3), (E2) et (E1), on montrera qu'on a
Tn+1=Tn+3Dn + 3Sn + n + 1.
4. A l'aide des questions précédentes, montrer que :
n(n + 1)(2n+1) 1+22+32 + ... + n² = 6
Partie B:
Somme des n premiers cubes. Pour tout entier naturel n, on considère la somme suivante :
Qn 1+2+34 + ...n
1. Montre que (n + 1) 4 = n² + 4n³ + 6n² + 4n+1 2. En s'inspirant de la partie A, montrer qu'on a : Qn+1=Qn+4Tn + 6Dn + 4Sn + n + 1
3. En déduire qu'on a l'égalité suivante :
n² (n + 1)² 1+23+33 +.... +n³ = 4​