Exercice 6.
Probabilités : vers l'infini et au-delà !

On considère un jeu constitué de lancers de dés consécutifs. On lance un dé équilibré à 6 faces :

Si on obtient 6 on gagne et le jeu s'arrête.

Si on obtient autre chose, c'est un échec. On relance alors le dé.
1: Dans un premier temps, on suppose que l'on ne lance le dé qu'une seule fois. Préciser la probabilité 81 de gagner en un lancer, et la probabilité d'échouer.

2: On autorise maintenant jusqu'à 2 lancers. À l'aide d'un arbre, préciser la probabilité g2 de gagner au 2e lancer (et pas avant). En déduire la probabilité totale T2 = g1 + g2 de gagner en 2 lancers ou moins.

3: On s'autorise maintenant un nombre n quelconque de lancers. On note g(n) la probabilité de gagner lors du ne lancer (et pas avant), et t(n)= g1 + ... + g(n) la probabilité de gagner en n lancers ou moins.

4: Expliquer pourquoi la suite (gn)n≥1 est géométrique. Préciser son terme initial et sa raison.

5: Donner la forme explicite de la suite g. En déduire une forme explicite pour T.

6: Que devient la probabilité T(n) lorsque n devient très grand? Expliquer.