Réponse :
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les identités trigonométriques. La formule suivante est particulièrement utile dans ce cas :
sin
(
2
�
)
=
2
sin
(
�
)
cos
(
�
)
sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)
Premièrement, utilisons les valeurs fournies pour
cos
(
�
)
cos(θ) et trouvons
sin
(
�
)
sin(θ).
Donné :
cos
(
�
)
=
5
−
1
cos(θ)=
5
−1
Pour trouver
sin
(
�
)
sin(θ), nous utilisons l'identité trigonométrique
sin
2
(
�
)
+
cos
2
(
�
)
=
1
sin
2
(θ)+cos
2
(θ)=1. En substituant la valeur de
cos
(
�
)
cos(θ) fournie, nous obtenons :
sin
2
(
�
)
+
(
5
−
1
)
2
=
1
sin
2
(θ)+(
5
−1
)
2
=1
En simplifiant, nous trouvons
sin
(
�
)
sin(θ).
Ensuite, nous pouvons utiliser la formule pour
sin
(
2
�
)
sin(2θ) :
sin
(
2
�
)
=
2
sin
(
�
)
cos
(
�
)
sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)
Montrer que
sin
(
2
�
)
=
10
+
2
5
sin(2θ)=10+2
5
:
Remplacez les valeurs de
sin
(
�
)
sin(θ) et
cos
(
�
)
cos(θ) dans la formule et simplifiez.
Pour déduire les valeurs de
cos
(
3
�
)
cos(3θ) et
sin
(
�
2
)
sin(
2
θ
), vous aurez besoin d'autres formules trigonométriques et d'identités, notamment celles pour
cos
(
3
�
)
cos(3θ) et
sin
(
�
2
)
sin(
2
θ
). Vous pouvez utiliser les formules suivantes :
cos
(
3
�
)
=
4
cos
3
(
�
)
−
3
cos
(
�
)
cos(3θ)=4cos
3
(θ)−3cos(θ)
sin
(
�
2
)
=
±
1
−
cos
(
�
)
2
sin(
2
θ
)=±
2
1−cos(θ)
N'oubliez pas de tenir compte du quadrant dans lequel se trouve l'angle pour déterminer le signe approprié. Utilisez les valeurs que vous avez déjà trouvées pour
sin
(
�
)
sin(θ) et
cos
(
�
)
cos(θ).
