Réponse :
Pour résoudre ce problème d'optimisation, nous devons établir une relation entre la hauteur
ℎ
h du cône et le rayon
�
r de sa base, puis maximiser le volume du cône. La formule du volume d'un cône est donnée par :
�
=
1
3
�
�
2
ℎ
V=
3
1
πr
2
h
Nous devons également tenir compte de la contrainte que le cône est inscrit dans une sphère de rayon
�
R. Le rayon
�
r et la hauteur
ℎ
h du cône sont liés par le théorème de Pythagore, car le rayon, la hauteur et l'apothème du cône forment un triangle rectangle. La relation est donnée par :
�
2
+
ℎ
2
=
�
2
r
2
+h
2
=R
2
Nous allons résoudre ces équations pour maximiser le volume du cône.
Utilisons la contrainte
�
2
+
ℎ
2
=
�
2
r
2
+h
2
=R
2
pour exprimer
ℎ
h en fonction de
�
r :
ℎ
=
�
2
−
�
2
h=
R
2
−r
2
Remplaçons
ℎ
h dans la formule du volume
�
V :
�
(
�
)
=
1
3
�
�
2
�
2
−
�
2
V(r)=
3
1
πr
2
R
2
−r
2
Maximisons
�
(
�
)
V(r) en dérivant par rapport à
�
r et en annulant la dérivée :
�
�
�
�
=
0
dr
dV
=0
Résolvons l'équation obtenue pour trouver les valeurs critiques de
�
r.
Vérifions que les solutions obtenues sont des points de maximum en utilisant la dérivée seconde.
Une fois que nous avons la valeur optimale de
�
r, nous pouvons utiliser la relation
ℎ
=
�
2
−
�
2
h=
R
2
−r
2
pour trouver la hauteur optimale
ℎ
h, et ainsi déterminer les dimensions du cône pour maximiser son volume dans la sphère de rayon
�
R.
