RĂ©pondre :
Pour résoudre ces équations, commençons par chacune d'entre elles :
1. \( \sqrt{5}(x - 1) = x \)
Pour résoudre cette équation, nous allons d'abord isoler \( x \) en déplaçant tous les termes sans \( x \) du côté opposé de l'équation :
\[ \sqrt{5}(x - 1) = x \]
\[ \sqrt{5}x - \sqrt{5} = x \]
Ensuite, nous rassemblons tous les termes contenant \( x \) du même côté de l'équation :
\[ \sqrt{5}x - x = \sqrt{5} \]
Maintenant, nous factorisons \( x \) :
\[ x(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} \]
Enfin, nous isolons \( x \) en divisant par \( \sqrt{5} - 1 \) :
\[ x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} \]
2. \( x^3 - x = 0 \)
Pour résoudre cette équation, nous allons factoriser \( x \) :
\[ x(x^2 - 1) = 0 \]
Ensuite, nous pouvons factoriser davantage en utilisant l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) :
\[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \]
Maintenant, nous avons trois facteurs \( x \), \( x - 1 \) et \( x + 1 \) qui, lorsqu'ils sont multipliés, donnent \( 0 \). Cela signifie que l'un des facteurs doit être égal à \( 0 \) pour que toute l'expression soit nulle.
Donc, les solutions sont :
\[ x = 0 \]
\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
\[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
Donc, les solutions de \( x^3 - x = 0 \) sont \( x = 0 \), \( x = 1 \) et \( x = -1 \).
1. \( \sqrt{5}(x - 1) = x \)
Pour résoudre cette équation, nous allons d'abord isoler \( x \) en déplaçant tous les termes sans \( x \) du côté opposé de l'équation :
\[ \sqrt{5}(x - 1) = x \]
\[ \sqrt{5}x - \sqrt{5} = x \]
Ensuite, nous rassemblons tous les termes contenant \( x \) du même côté de l'équation :
\[ \sqrt{5}x - x = \sqrt{5} \]
Maintenant, nous factorisons \( x \) :
\[ x(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} \]
Enfin, nous isolons \( x \) en divisant par \( \sqrt{5} - 1 \) :
\[ x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 1} \]
2. \( x^3 - x = 0 \)
Pour résoudre cette équation, nous allons factoriser \( x \) :
\[ x(x^2 - 1) = 0 \]
Ensuite, nous pouvons factoriser davantage en utilisant l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) :
\[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \]
Maintenant, nous avons trois facteurs \( x \), \( x - 1 \) et \( x + 1 \) qui, lorsqu'ils sont multipliés, donnent \( 0 \). Cela signifie que l'un des facteurs doit être égal à \( 0 \) pour que toute l'expression soit nulle.
Donc, les solutions sont :
\[ x = 0 \]
\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
\[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
Donc, les solutions de \( x^3 - x = 0 \) sont \( x = 0 \), \( x = 1 \) et \( x = -1 \).
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