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Réponse :
Explications étape par étape :
Pour montrer que I est le milieu de [AB] si et seulement si pour tout point M, on a MA + MB = 2MI, nous allons procéder en deux étapes :
Montrons que si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M, on a MA + MB = 2MI.
Montrons que si pour tout point M, on a MA + MB = 2MI, alors I est le milieu de [AB].
1. Supposons que I est le milieu de [AB].
Soit I le milieu de [AB]. Nous avons les coordonnées suivantes :
�
=
(
�
�
+
�
�
2
,
�
�
+
�
�
2
)
I=(
2
A
x
+B
x
,
2
A
y
+B
y
)
Alors, en utilisant la définition de la distance entre deux points dans un plan cartésien, la distance entre M et I est :
�
�
=
(
�
�
−
�
�
)
2
+
(
�
�
−
�
�
)
2
MI=
(x
M
−x
I
)
2
+(y
M
−y
I
)
2
En substituant les coordonnées de I et de M, nous obtenons :
�
�
=
(
�
�
−
�
�
+
�
�
2
)
2
+
(
�
�
−
�
�
+
�
�
2
)
2
MI=
(x
M
−
2
A
x
+B
x
)
2
+(y
M
−
2
A
y
+B
y
)
2
Ce qui peut être réécrit comme :
�
�
=
(
2
�
�
−
�
�
−
�
�
2
)
2
+
(
2
�
�
−
�
�
−
�
�
2
)
2
MI=
(
2
2x
M
−A
x
−B
x
)
2
+(
2
2y
M
−A
y
−B
y
)
2
Ce qui simplifie à :
�
�
=
(
2
�
�
−
(
�
�
+
�
�
)
2
)
2
+
(
2
�
�
−
(
�
�
+
�
�
)
2
)
2
MI=
(
2
2x
M
−(A
x
+B
x
)
)
2
+(
2
2y
M
−(A
y
+B
y
)
)
2
�
�
=
(
2
�
�
−
�
�
−
�
�
2
)
2
+
(
2
�
�
−
�
�
−
�
�
2
)
2
MI=
(
2
2x
M
−A
x
−B
x
)
2
+(
2
2y
M
−A
y
−B
y
)
2
En développant et simplifiant, nous obtenons :
�
�
=
1
2
(
�
�
−
2
�
�
+
�
�
)
2
+
(
�
�
−
2
�
�
+
�
�
)
2
MI=
2
1
(A
x
−2x
M
+B
x
)
2
+(A
y
−2y
M
+B
y
)
2
Cela peut être réécrit comme :
�
�
=
1
2
(
�
�
−
�
�
+
�
�
−
�
�
)
2
+
(
�
�
−
�
�
+
�
�
−
�
�
)
2
MI=
2
1
(A
x
−x
M
+B
x
−x
M
)
2
+(A
y
−y
M
+B
y
−y
M
)
2
Et en utilisant la définition de la distance entre deux points, cela devient :
�
�
=
1
2
(
�
�
+
�
�
)
MI=
2
1
(MA+MB)
Donc, si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M, on a
�
�
+
�
�
=
2
�
�
MA+MB=2MI.
2. Supposons que pour tout point M, on ait
�
�
+
�
�
=
2
�
�
MA+MB=2MI.
Maintenant, supposons que pour tout point M, on ait
�
�
+
�
�
=
2
�
�
MA+MB=2MI. Nous devons montrer que I est le milieu de [AB].
Considérons un point M tel que M soit le milieu de [AB]. Alors,
�
�
=
�
�
MA=MB. En utilisant notre hypothèse,
�
�
+
�
�
=
2
�
�
MA+MB=2MI, ce qui implique que
2
�
�
=
2
�
�
2MA=2MI, donc
�
�
=
�
�
MA=MI. De même,
�
�
=
�
�
MB=MI.
Cela signifie que le point M satisfait la condition de la définition du milieu : il est à égale distance des points A et B, donc il est sur la médiane [AB]. Comme ceci est vrai pour n'importe quel point M sur [AB], alors I est le milieu de [AB].
Ainsi, nous avons montré dans les deux sens que
�
I est le milieu de [AB] si et seulement si pour tout point
�
M,
�
�
+
�
�
=
2
�
�
MA+MB=2MI.
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