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Explications étape par étape:
1. a. Pour justifier que le volume d'eau dans la retenue au matin du 2 juillet est égal à 95 500 m3, nous devons prendre en compte l'évaporation de 4 % du volume total d'eau par jour. Donc, le volume d'eau après un jour sera égal à 100 000 m3 - (4 % 100 000 m3) = 100 000 m3 - 4 000 m3 = 96 000 m3. Ensuite, on libère 500 m3 pour l'irrigation, donc le volume d'eau au matin du 2 juillet sera égal à 96 000 m3 - 500 m3 = 95 500 m3.
b. Pour calculer le volume d'eau dans la retenue au matin du 3 juillet, nous répétons le même processus. À partir du volume d'eau du matin du 2 juillet (95 500 m3), nous calculons l'évaporation de 4 % du volume total d'eau par jour, soit 95 500 m3 - (4 % 95 500 m3) = 91 620 m3. Ensuite, on libère 500 m3 pour l'irrigation, donc le volume d'eau au matin du 3 juillet sera égal à 91 620 m3 - 500 m3 = 91 120 m3.
c. Pour justifier que, pour tout entier naturel n, on a : Un+1 = 0,96Un - 500, nous utilisons la même logique. Pour chaque jour suivant, le volume d'eau sera égal au volume d'eau du jour précédent (Un) moins l'évaporation de 4 % du volume total d'eau et moins 500 m3 pour l'irrigation. Donc, Un+1 = Un - (4 % Un) - 500 = Un(1 - 0,04) - 500 = 0,96Un - 500.
2.
a. Voici l'algorithme complet pour déterminer à quelle date il n'y aura plus d'eau dans la retenue :
```
n = 0
volume_eau = 100000
while volume_eau > 0:
n += 1
volume_eau = 0.96 volume_eau - 500
print("Il n'y aura plus d'eau dans la retenue à la date n =", n)
```
b. Pour déterminer à quelle date il n'y aura plus d'eau dans la retenue si l'évolution se maintient, il suffit d'exécuter l'algorithme. Cela dépendra de la valeur initiale du volume d'eau et du taux d'évaporation.
3.
a. Pour montrer que Vn+1 = 0,96Vn, nous devons remplacer Un par Vn - 12500 dans l'équation Un+1 = 0,96Un - 500 :
Vn+1 = 0,96(Vn - 12500) - 500
= 0,96Vn - 12000 - 500
= 0,96Vn - 12500
b. Si nous observons l'équation suivante : Vn+1 = 0,96Vn, nous pouvons voir que c'est une équation de récurrence linéaire homogène avec un facteur commun 0,96. Par conséquent, la suite (Vn) est une suite géométrique.
c. Pour exprimer Vn en fonction de n, nous utilisons la formule générale d'une suite géométrique :
Vn = V0 r^n
Dans notre cas, V0 = U0 + 12500 = 100000 + 12500 = 112500, et r = 0,96. Donc, Vn = 112500 0,96^n.
d. Pour montrer que, pour tout n appartient à N, on a : Un = 112500 0,96^n - 12500, nous utilisons la relation entre Un et Vn :
Un = Vn - 12500
= 112500 0,96^n - 12500.
e. Pour montrer que la suite (Un) est décroissante, nous devons étudier le coefficient multiplicateur r = 0,96. Puisque 0 < r < 1, cela signifie que chaque terme de la suite est strictement inférieur au précédent, ce qui se traduit par une décroissance de la suite (Un). Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le niveau d'eau dans la retenue diminue chaque jour en raison de l'évaporation et de l'irrigation.
J'espère que cela vous aide à comprendre cet exercice. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à demander.
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