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Explications étape par étape :
**EXERCICE 1:**
Soit \( x \) le nombre de lapins et \( y \) le nombre de poules.
On a deux équations basées sur les têtes et les pattes :
1. \( x + y = 61 \) (nombre total de têtes)
2. \( 4x + 2y = 150 \) (nombre total de pattes, 4 pour chaque lapin et 2 pour chaque poule)
Maintenant, résolvons ce système d'équations.
À partir de l'équation 1, on peut exprimer \( x \) en fonction de \( y \):
\[ x = 61 - y \]
En substituant cette valeur de \( x \) dans l'équation 2, on obtient :
\[ 4(61 - y) + 2y = 150 \]
\[ 244 - 4y + 2y = 150 \]
\[ 244 - 150 = 4y - 2y \]
\[ 94 = 2y \]
\[ y = \frac{94}{2} \]
\[ y = 47 \]
Maintenant, en utilisant \( y = 47 \) dans \( x = 61 - y \), nous obtenons :
\[ x = 61 - 47 \]
\[ x = 14 \]
Donc, il y a 14 lapins et 47 poules dans la basse-cour.
**EXERCICE 2:**
Pour déterminer l'emplacement le plus rentable, calculons d'abord le bénéfice moyen quotidien pour chaque emplacement.
Paillotte sur la plage:
- Bénéfice par jour ensoleillé : 500 €
- Jours ensoleillés : 0.75 * 92 jours (du 1er juin au 31 août inclus) = 69 jours
- Bénéfice total par jour : \( 69 \times 500 = 34500 € \)
Boutique au centre-ville:
- Bénéfice par jour nuageux ou pluvieux : 50 €
- Jours nuageux ou pluvieux : 0.25 * 92 jours = 23 jours
- Bénéfice total par jour : \( 23 \times 50 = 1150 € \)
Maintenant, comparons les coûts des deux emplacements:
- Coût de la paillotte sur la plage pour 92 jours : \( 2500 \times 3 = 7500 € \)
- Coût de la boutique au centre-ville pour 92 jours : \( 60 \times 92 = 5520 € \)
Calculons le bénéfice net pour chaque emplacement:
- Paillotte sur la plage : \( 34500 - 7500 = 27000 € \)
- Boutique au centre-ville : \( 1150 - 5520 = -4370 € \)
Donc, la paillotte sur la plage est l'emplacement le plus rentable pour Peio.
**EXERCICE 3:**
Pour maximiser l'aire de baignade surveillée, le maître-nageur devrait former un rectangle avec la corde de 160 m de longueur. La longueur de la corde serait le périmètre du rectangle.
Soit \( L \) la longueur du rectangle et \( l \) la largeur.
Le périmètre (\( P \)) du rectangle est donné par :
\[ P = 2L + 2l \]
Dans ce cas, \( P = 160 \) m.
Nous devons maximiser l'aire (\( A \)) du rectangle, donnée par :
\[ A = L \times l \]
En isolant \( l \) dans l'équation du périmètre, nous obtenons :
\[ l = \frac{160 - 2L}{2} \]
\[ l = 80 - L \]
En substituant cette expression de \( l \) dans l'équation de l'aire, nous obtenons une fonction d'une variable \( A(L) \) :
\[ A(L) = L \times (80 - L) \]
\[ A(L) = 80L - L^2 \]
Pour trouver la valeur maximale de \( A(L) \), nous prenons la dérivée de \( A(L) \) par rapport à \( L \) et l'égalisons à zéro :
\[ A'(L) = 80 - 2L = 0 \]
\[ 2L = 80 \]
\[ L = 40 \]
Donc, la longueur maximale pour obtenir une aire de baignade maximale est de 40 m. En utilisant \( l = 80 - L \), nous obtenons \( l = 80 - 40 = 40 \) m également.
Ainsi, les dimensions du rectangle ayant l'aire maximale sont 40 m par 40 m.
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