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Pour résoudre ce problème, commençons par déterminer l'équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a. Ensuite, nous examinerons sous quelle condition cette tangente est perpendiculaire à la droite �=3�y=3x. Enfin, nous montrerons que l'équation �E est équivalente à �4−72+10=0a4−7a2+10=0.
1. Soit �(�)f(x) la fonction représentée par la courbe ��Cf. La tangente à cette courbe au point (�,�(�))(a,f(a)) a pour équation :
�−�(�)=�′(�)(�−�)y−f(a)=f′(a)(x−a)
où �′(�)f′(a) est la dérivée de �(�)f(x) évaluée en �=�x=a.
Pour que cette tangente soit perpendiculaire à la droite �=3�y=3x, le coefficient directeur de la tangente doit être égal au négatif de l'inverse du coefficient directeur de la droite �=3�y=3x. Donc, �′(�)=−1/3f′(a)=−1/3.
La dérivée de �(�)f(x), notée �′(�)f′(x), est nécessaire pour trouver �′(�)f′(a). Cependant, les fonctions exactes ne sont pas données, donc il est difficile de fournir une réponse précise sans connaître �(�)f(x). Si vous avez la fonction �(�)f(x), vous pouvez utiliser la dérivée pour trouver �′(�)f′(a).
1. Pour montrer que l'équation �E est équivalente à �4−7�2+10=0a4−7a2+10=0, nous devons manipuler l'équation �E pour obtenir la forme de l'équation quadratique donnée.
Nous avons :
9(1−�2)(�2+1)2=−1(a2+1)29(1−a2)=−1
En multipliant les deux côtés par (�2+1)2(a2+1)2, nous obtenons :
9(1−�2)=−(�2+1)29(1−a2)=−(a2+1)2
En développant le côté droit :
9−9�2=−(�4+2�2+1)9−9a2=−(a4+2a2+1)
9−9�2=−�4−2�2−19−9a2=−a4−2a2−1
En regroupant les termes :
0=�4−7�2+100=a4−7a2+10
Nous avons donc montré que l'équation �E est équivalente à �4−7�2+10=0a4−7a2+10=0.
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