Réponse :
Explications étape par étape :
1. **Équations pour G' (GG) :**
On suppose que les points A, B, C, et G' ont des coordonnées dans un plan. Si \(G'(x, y)\), alors les équations pour trouver les coordonnées de \(G'\) en fonction de \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\), et \(C(x_C, y_C)\) seraient les suivantes :
\[
\begin{align*}
x &= \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \\
y &= \frac{y_A + y_B + y_C}{3}
\end{align*}
\]
2. **Vérification de \(GA + GB + GC\) :**
Calculez les coordonnées des vecteurs \(GA\), \(GB\), et \(GC\), puis ajoutez-les pour obtenir \(GA + GB + GC\). Vérifiez si cette somme est égale à \(d\).
3. **Points alignés (O, G, H) :**
Calculez les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{OG}\). Si ce vecteur est nul, cela signifie que les points O, G, et H sont alignés.
4. **Parallélogramme et égalité vectorielle :**
Si \(A'\) est le milieu de \([BC]\), alors le vecteur \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\) représente la diagonale d'un parallélogramme dont \(GA\) est l'autre diagonale. Pour prouver l'égalité, utilisez les propriétés des milieux des segments.
Cependant, pour vous aider de manière plus précise, il serait utile d'avoir les coordonnées spécifiques des points et les valeurs associées à \(d\), ainsi que toute information supplémentaire sur les relations entre ces points.