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## Exercice 4: Correction détaillée
**1) Placement des points:**
- A(3; -2) se trouve à 3 unités à droite de l'origine et 2 unités en dessous.
- B(1; 2) se trouve à 1 unité à droite de l'origine et 2 unités au-dessus.
- C(-3; 0) se trouve à 3 unités à gauche de l'origine et sur l'axe des abscisses.
**2) Calcul de la distance AB:**
Utilisons la formule de la distance entre deux points:
`AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)`
En remplaçant les coordonnées de A et B, on obtient:
`AB = √((1 - 3)² + (2 - (-2))²) = √(4 + 16) = √20`
**3) a) Calcul de ||BC||:**
Même formule que pour AB:
`BC = √((-3 - 1)² + (0 - 2)²) = √(16 + 4) = √20`
**b) Isocèle:**
On remarque que ||AB|| = ||BC|| = √20. Par conséquent, le triangle ABC est isocèle en B.
**c) Calcul de AC:**
`AC = √((3 - (-3)² + (-2 - 0)²) = √(36 + 4) = 2√10`
**d) Triangle rectangle:**
**Théorème de Pythagore:**
`AB² + BC² = AC²`
`(√20)² + (√20)² = (2√10)²`
`40 = 40`
**Le théorème est vérifié. Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en B.**
**4) Coordonnées du point M et placement:**
Le milieu M de [AC] a pour coordonnées:
`((3 - (-3))/2; (-2 + 0)/2) = (3; -1)`
Placez M dans le repère à l'intersection des droites d'abscisse 3 et d'ordonnée -1.
**5) Construction et coordonnées du point D:**
D est le symétrique de B par rapport à M.
**a) Construction:**
- Tracez la droite (BM).
- Repérez le point M' symétrique de B par rapport à M (même distance de M que B).
- Le point D est l'intersection de la droite (BM') et du segment [AC].
**b) Coordonnées:**
D a les mêmes coordonnées que B par rapport à M, c'est-à-dire (-3; 1).
**6) Parallélogramme ABCD:**
**Propriété:**
Les milieux des diagonales d'un parallélogramme se confondent.
**Preuve:**
M est le milieu de [AC] et le milieu de [BD] (car B et D sont symétriques par rapport à M).
**Par conséquent, ABCD est un parallélogramme.**
**7) Nature du quadrilatère ABCD:**
**Propriété:**
Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un rectangle.
**Preuve:**
Dans le repère, on remarque que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. De plus, l'angle entre (AB) et (AD) est droit (car ABC est rectangle en B).
**Par conséquent, ABCD est un rectangle.**
**Conclusion:**
Le quadrilatère ABCD est un rectangle.
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