Exercice 1:
1) Pour développer E, utilisant l'identité remarquable \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \), on a \( E = (7x)^2 - (6)^2 \).
\[ E = 49x^2 - 36 \]
Pour F, appliquons la même identité remarquable \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) : \( F = (7x)^2 - (6)^2 \).
\[ F = 49x^2 - 36 \]
2*) Calculons astucieusement \( 94 \times 106 \) en utilisant l'identité remarquable \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \).
\[ 94 \times 106 = (100 - 6)(100 + 6) = 100^2 - 6^2 = 10,000 - 36 = 9,964 \]
3°) Montrons que \( ( \sqrt{37} + \sqrt{12} )(\sqrt{37} - \sqrt{12}) \) est le carré d'un nombre entier.
\[ ( \sqrt{37} + \sqrt{12} )(\sqrt{37} - \sqrt{12}) = (\sqrt{37})^2 - (\sqrt{12})^2 = 37 - 12 = 25 \]
Ce qui est le carré de 5.
Exercice 2:
1°) Développons et réduisons A.
\[ A = (3x-2)(-4x-1) - (3x -2)^2 \]
\[ A = -12x^2 + 8x + 4x + 4 - 9x^2 + 12x - 4 \]
\[ A = -21x^2 + 16x \]
2°) Calculons A quand \( x = -2 \) en utilisant le résultat précédent.
\[ A = -21(-2)^2 + 16(-2) \]
\[ A = -21 \times 4 - 32 \]
\[ A = -84 - 32 \]
\[ A = -116 \]
Exercice 3:
Pour calculer 3,5%, effectuons le produit de 3 par 4 et ajoutons 0,25 : \( 3 \times 4 + 0,25 = 12 + 0,25 = 12,25 \).
Vérifions que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5 : \( (3,5)^2 = 12,25 \), la proposition de Julie est correcte.
Pour calculer 7,5%, une façon simple serait de prendre la moitié de 15%, donc \( 7,5\% = \frac{1}{2} \times 15\% = 0,075 \).
La conjecture de Julie, \( (n + 0,5)^2 = n(n + 1) + 0,25 \), est vraie pour tout nombre entier \( n \).
