Bonjour ,
OM=x
OA=1/x
Périmètre = P(x)=2*OM+2*OA
P(x)=2x+(2/x)
On réduit au même dénominateur :
P(x)=(2x²+2)/x
On va étudier les variations de P(x) de la forme u/v.
u=2x²+2 donc u'=4x
v=x donc v'=1
P '(x)= [4x²-(2x²+2) ]/x²=(4x²-2x²-2)/x²
P '(x)=(2x²-2)/x²
Donc P '(x) est du signe de (2x²-2) qui est < 0 entre ses racines.
Racines :
2x²-2=0
x²-1=0
x²=1
x=-1 OU x=1
Variation sur ]0;+∞[ :
x--------->0.....................1..........................+∞
P '(x)---->||....-................0..............+...........
P(x)------->.......D...........4.............C.................
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte
Le périmètre est minimal pour x=1 et vaut alors 4.
