EXERCICE 3 (14 points)
Pour limiter la hausse des températures moyennes de la planète, une diminution des émissions
de gaz à effet de serre s'avère nécessaire.
Dans ce but, le gouvernement français s'est donné comme objectif de diviser par quatre les émis-
sions de gaz à effet de serre en France de 2006 à 2050.
En 2006, les émissions de gaz à effet de serre en France s'élevaient à 547 millions de tonnes
d'équivalent CO2 (dioxyde de carbone).
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A: étude d'un premier modèle
Dans cette partie, on suppose que les émissions de gaz à effet de serre en France baisseront chaque
année de 9,3 millions de tonnes à partir de l'année 2006.
Soit n un entier naturel. On note u, les émissions de gaz à effet de serre en France au cours de
l'année 2006+n, en millions de tonnes d'équivalent CO2. Ainsi u₁ = 547.
1. Calculer u₁ et u2. Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice.
2. (a) Exprimer u₁+1 en fonction de u. Justifier.
(b) En déduire la nature de la suite (un).
3. (a) Exprimer u, en fonction de n.
(b) En déduire u₁8. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
k=18
4. Calculer Σ uk = uo+U₁ + ... +U18⋅
k=0
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B étude d'un deuxième modèle
Dans cette partie, on suppose que les émissions de gaz à effet de serre en France baisseront chaque
année de 3% à partir de l'année 2006.
Soit n un entier naturel. On note v les émissions de gaz à effet de serre en France au cours de
l'année 2006+n, en millions de tonnes d'équivalent CO2. Ainsi vo = 547.
1. Calculer v₁ et v2.
2. (a) Exprimer vn+1 en fonction de v. Justifier.
(b) En déduire la nature de la suite (vn).
3. (a) Exprimer v₁, en fonction de n.
(b) En déduire V18.
k=18
4. Calculer Σ Uk = 0 + V₁ + ... + V18•
k=0
Partie C conclusions
1. Entre les deux modèles, quel est celui qui est le plus optimiste quant à la réduction des
émissions de gaz à effet de serre en France?
2. Avec ce modèle optimiste, l'objectif initial de diviser par quatre les émissions de gaz à effet
de serre en France de 2006 à 2050 sera-t-il atteint?

Question

Mathématiques

résolu

EXERCICE 3 (14 points)
Pour limiter la hausse des températures moyennes de la planète, une diminution des émissions
de gaz à effet de serre s'avère nécessaire.
Dans ce but, le gouvernement français s'est donné comme objectif de diviser par quatre les émis-
sions de gaz à effet de serre en France de 2006 à 2050.
En 2006, les émissions de gaz à effet de serre en France s'élevaient à 547 millions de tonnes
d'équivalent CO2 (dioxyde de carbone).
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A: étude d'un premier modèle
Dans cette partie, on suppose que les émissions de gaz à effet de serre en France baisseront chaque
année de 9,3 millions de tonnes à partir de l'année 2006.
Soit n un entier naturel. On note u, les émissions de gaz à effet de serre en France au cours de
l'année 2006+n, en millions de tonnes d'équivalent CO2. Ainsi u₁ = 547.
1. Calculer u₁ et u2. Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice.
2. (a) Exprimer u₁+1 en fonction de u. Justifier.
(b) En déduire la nature de la suite (un).
3. (a) Exprimer u, en fonction de n.
(b) En déduire u₁8. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
k=18
4. Calculer Σ uk = uo+U₁ + ... +U18⋅
k=0
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie B étude d'un deuxième modèle
Dans cette partie, on suppose que les émissions de gaz à effet de serre en France baisseront chaque
année de 3% à partir de l'année 2006.
Soit n un entier naturel. On note v les émissions de gaz à effet de serre en France au cours de
l'année 2006+n, en millions de tonnes d'équivalent CO2. Ainsi vo = 547.
1. Calculer v₁ et v2.
2. (a) Exprimer vn+1 en fonction de v. Justifier.
(b) En déduire la nature de la suite (vn).
3. (a) Exprimer v₁, en fonction de n.
(b) En déduire V18.
k=18
4. Calculer Σ Uk = 0 + V₁ + ... + V18•
k=0
Partie C conclusions
1. Entre les deux modèles, quel est celui qui est le plus optimiste quant à la réduction des
émissions de gaz à effet de serre en France?
2. Avec ce modèle optimiste, l'objectif initial de diviser par quatre les émissions de gaz à effet
de serre en France de 2006 à 2050 sera-t-il atteint?

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Explications étape par étape:

bonjour

Partie A:

1. Pour le premier modèle, les émissions de gaz à effet de serre en France diminuent chaque année de 9,3 millions de tonnes à partir de 2006.

\( u_1 = 547 \) millions de tonnes (en 2006)

\( u_2 = 547 - 9,3 = 537,7 \) millions de tonnes (en 2007)

Les résultats indiquent une diminution des émissions de gaz à effet de serre chaque année.

2. (a) \( u_{n+1} = u_n - 9,3 \) (car les émissions diminuent de 9,3 millions de tonnes chaque année).

(b) La suite \( (u_n) \) est une suite arithmétique décroissante.

3. (a) \( u_n = 547 - 9,3n \)

(b) \( u_{18} = 547 - 9,3 \times 18 = 547 - 167,4 = 379,6 \) millions de tonnes en 2024.

4. \( \sum_{k=0}^{18} u_k = u_0 + u_1 + ... + u_{18} \)

\( = 547 + 537,7 + ... + 379,6 \)

Cette somme représente la totalité des émissions de gaz à effet de serre en France de 2006 à 2024.

Partie B:

1. Pour le deuxième modèle, les émissions de gaz à effet de serre en France diminuent chaque année de 3% à partir de 2006.

\( v_1 = 547 \) millions de tonnes (en 2006)

\( v_2 = 547 \times (1 - 0,03) = 530,41 \) millions de tonnes (en 2007)

2. (a) \( v_{n+1} = v_n \times 0,97 \) (car les émissions diminuent de 3% chaque année).

(b) La suite \( (v_n) \) est une suite géométrique décroissante.

3. (a) \( v_n = 547 \times 0,97^n \)

(b) \( v_{18} = 547 \times 0,97^{18} \)

4. \( \sum_{k=0}^{18} v_k = v_0 + v_1 + ... + v_{18} \)

Cette somme représente la totalité des émissions de gaz à effet de serre en France de 2006 à 2024.

Partie C:

1. Le deuxième modèle est plus optimiste car il suppose une réduction des émissions plus importante (3% par an) par rapport au premier modèle (diminution fixe de 9,3 millions de tonnes par an).

2. Pour déterminer si l'objectif initial de diviser par quatre les émissions de gaz à effet de serre en France de 2006 à 2050 sera atteint, il faudrait extrapoler les modèles jusqu'en 2050 et comparer les émissions projetées avec l'objectif.