Répondre :
a. Algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de 16 et 9 :
L'algorithme d'Euclide consiste à effectuer des divisions successives jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD est alors le dernier diviseur non nul.
1. Effectuons la première division euclidienne :
\[ 16 = 9 \times 1 + 7 \]
2. Ensuite, effectuons une deuxième division euclidienne en utilisant le diviseur précédent comme diviseur et le reste comme le dividende :
\[ 9 = 7 \times 1 + 2 \]
3. Enfin, effectuons une troisième division euclidienne en utilisant le reste précédent comme diviseur et le reste de la deuxième division euclidienne comme le dividende :
\[ 7 = 2 \times 3 + 1 \]
À ce stade, nous avons obtenu un reste de 1. Le PGCD de 16 et 9 est donc 1.
b. Écrire le nombre 1 comme combinaison linéaire de \( r_1 \) et \( r_2 \) :
Comme nous avons obtenu un reste de 1, nous pouvons écrire 1 comme combinaison linéaire de \( r_1 \) et \( r_2 \) :
\[ 1 = 7 - 2 \times 3 \]
c. Écrire le nombre 2 comme combinaison linéaire de 9 et \( r_1 \), puis justifier comment obtenir \( 1 = 7 \times 4 - 3 \times 9 \) :
Utilisons la deuxième division euclidienne pour exprimer 2 comme une combinaison linéaire de 9 et \( r_1 \) :
\[ 2 = 9 - 7 \times 1 \]
Maintenant, substituons \( 7 = 9 - 2 \times 3 \) :
\[ 2 = 9 - (9 - 2 \times 3) \times 1 \]
\[ 2 = 9 - 9 + 2 \times 3 \]
\[ 2 = 2 \times 3 \]
Ainsi, \( 2 = 2 \times 3 \).
Pour exprimer 1 comme une combinaison linéaire de 9 et \( r_1 \), nous remplaçons \( 2 \) par \( 1 \) :
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 9 \]
d. En déduire une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1. Conclure :
Puisque \( 1 \) est exprimé comme une combinaison linéaire de \( 9 \) et \( r_1 \) (qui est \( 7 \)), nous pouvons l'exprimer comme une combinaison linéaire de \( 9 \) et \( 16 \) en remplaçant \( r_1 \) par \( 16 - 9 \times 1 \) :
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 9 \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times (16 - 9 \times 1) \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 16 + 3 \times 9 \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 16 + 3 \times (16 - 9 \times 1) \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 16 + 3 \times 16 - 3 \times 9 \]
\[ 1 = 7 \times (4 + 3) - 3 \times (16 + 9) \]
\[ 1 = 7 \times 7 - 3 \times 25 \]
Donc, une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1 est \( 7 \times 7 - 3 \times 25 \).
En conclusion, nous avons trouvé une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1 en utilisant l'algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de 16 et 9.
Explications étape par étape :
Bien sûr ! Voici les explications étape par étape pour chaque partie de l'exercice :
a. Algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de 16 et 9 :
L'algorithme d'Euclide consiste à effectuer des divisions successives jusqu'à obtenir un reste nul. Voici comment procéder :
1. On effectue la première division euclidienne :
\[ 16 = 9 \times 1 + 7 \]
2. Ensuite, on effectue une deuxième division euclidienne en utilisant le reste précédent comme le dividende et le diviseur précédent comme le diviseur :
\[ 9 = 7 \times 1 + 2 \]
3. On continue avec une troisième division euclidienne en utilisant le reste précédent comme le dividende et le reste de la deuxième division euclidienne comme le diviseur :
\[ 7 = 2 \times 3 + 1 \]
À ce stade, le reste est devenu 1. Le PGCD de 16 et 9 est donc 1.
b. Écrire le nombre 1 comme combinaison linéaire de \( r_1 \) et \( r_2 \) :
Comme nous avons obtenu un reste de 1, nous pouvons écrire 1 comme combinaison linéaire des deux restes obtenus précédemment \( r_1 \) et \( r_2 \), qui sont 7 et 2, respectivement :
\[ 1 = 7 - 2 \times 3 \]
c. Écrire le nombre 2 comme combinaison linéaire de 9 et \( r_1 \), puis justifier comment obtenir \( 1 = 7×4-3×9 \) :
Nous utilisons le résultat de la deuxième division euclidienne pour exprimer 2 comme une combinaison linéaire de 9 et \( r_1 \), puis nous substituons \( r_1 \) par sa valeur précédente obtenue dans l'étape b. :
\[ 2 = 9 - 7 \times 1 \]
\[ 2 = 9 - (9 - 2 \times 3) \times 1 \]
\[ 2 = 9 - 9 + 2 \times 3 \]
\[ 2 = 2 \times 3 \]
Maintenant, nous remplaçons 2 par sa combinaison linéaire en utilisant \( r_1 \) :
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 9 \]
d. En déduire une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1. Conclure :
Puisque \( 1 \) est exprimé comme une combinaison linéaire de \( r_1 \) et \( r_2 \), nous pouvons remplacer \( r_1 \) par sa combinaison linéaire avec 9, qui est \( 16 - 9 \times 1 \) :
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 9 \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times (16 - 9 \times 1) \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 16 + 3 \times 9 \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 16 + 3 \times (16 - 9 \times 1) \]
\[ 1 = 7 \times 4 - 3 \times 16 + 3 \times 16 - 3 \times 9 \]
\[ 1 = 7 \times (4 + 3) - 3 \times (16 + 9) \]
\[ 1 = 7 \times 7 - 3 \times 25 \]
Ainsi, une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1 est \( 7 \times 7 - 3 \times 25 \).
En conclusion, nous avons trouvé une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1 en utilisant l'algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD de 16 et 9.
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