Réponse :Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes demandées :
1°/ Pour trouver les racines de \( f(x) \), nous égalons la fonction à zéro et résolvons l'équation :
\[ f(x) = 0 \]
\[ -0,5(x+4)(x-5) = 0 \]
Cette équation sera égale à zéro si l'un des facteurs est égal à zéro, donc :
\[ x + 4 = 0 \] ou \[ x - 5 = 0 \]
Ce qui donne :
\[ x = -4 \] ou \[ x = 5 \]
Ainsi, les racines de \( f(x) \) sont \( x_1 = -4 \) et \( x_2 = 5 \).
2°/ L'axe de symétrie d'une parabole est la droite verticale passant par le sommet de la parabole. Etant donné que la parabole est définie par \( f(x) = -0,5(x+4)(x-5) \), elle est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par le milieu des racines \( x_1 \) et \( x_2 \). L'équation de cet axe est donc donnée par :
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \]
\[ x = \frac{-4 + 5}{2} \]
\[ x = \frac{1}{2} \]
Donc l'équation de l'axe de symétrie est \( x = \frac{1}{2} \).
3°/ Le sommet d'une parabole est situé sur l'axe de symétrie. Donc, pour trouver les coordonnées du sommet, nous évaluons \( f(x) \) en \( x = \frac{1}{2} \) :
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -0,5\left(\frac{1}{2}+4\right)\left(\frac{1}{2}-5\right) \]
Calculons cela :
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -0,5\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{-9}{2}\right) \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -0,5 \times \frac{9}{2} \times \frac{-9}{2} \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -0,5 \times \frac{-81}{4} \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{81}{8} \]
Ainsi, les coordonnées du sommet sont \( \left(\frac{1}{2}, \frac{81}{8}\right) \).
4°/ Maintenant, traçons la parabole et l'axe de symétrie dans un repère. Nous avons la parabole \( f(x) = -0,5(x+4)(x-5) \) et l'axe de symétrie \( x = \frac{1}{2} \). Nous pouvons tracer ces éléments.
5°/ Pour dresser le tableau de variation de la fonction \( f(x) \), nous devons examiner le signe de \( f(x) \) dans chaque intervalle défini par les racines et l'axe de symétrie. Nous pouvons observer que la parabole est tournée vers le bas, donc elle est décroissante sur \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) et croissante sur \( (\frac{1}{2}, +\infty) \).
6°/ Pour obtenir la forme développée de \( f(x) \), utilisons la double distributivité :
\[ f(x) = -0,5(x+4)(x-5) \]
\[ = -0,5(x^2 - 5x + 4x - 20) \]
\[ = -0,5(x^2 - x - 20) \]
\[ = -0,5x^2 + 0,5x + 10 \]
Donc, la forme développée de \( f(x) \) est \( -0,5x^2 + 0,5x + 10 \).
Vous pouvez maintenant tracer la parabole, l'axe de symétrie, et dresser le tableau de variation en fonction de ces résultats. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à demander !
Explications étape par étape :Bien sûr ! Voici les explications étape par étape pour chaque partie de l'exercice :
1°/ Pour trouver les racines de \( f(x) \), nous utilisons la méthode du produit nul. Cela signifie que nous cherchons les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) = 0 \). Dans ce cas, \( f(x) \) est déjà factorisé, donc nous identifions les valeurs de \( x \) qui annulent chaque facteur, ce qui nous donne les racines \( x_1 \) et \( x_2 \).
2°/ L'axe de symétrie d'une parabole est une droite verticale passant par le sommet de la parabole. Dans ce cas, puisque la parabole est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par le milieu des racines \( x_1 \) et \( x_2 \), nous utilisons la formule \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \) pour trouver l'équation de l'axe de symétrie.
3°/ Comme mentionné précédemment, le sommet de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie. Donc, une fois que nous avons trouvé l'axe de symétrie, nous évaluons \( f(x) \) en utilisant cette valeur de \( x \) pour trouver l'ordonnée du sommet.
4°/ Après avoir trouvé l'équation de l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet, nous traçons la parabole et l'axe de symétrie dans un repère cartésien. Pour ce faire, nous plaçons les points correspondants et relions les points pour obtenir la courbe de la parabole.
5°/ Pour dresser le tableau de variation de \( f(x) \), nous examinons le signe de \( f(x) \) dans chaque intervalle délimité par les racines et l'axe de symétrie. Nous utilisons les racines et le sommet pour diviser l'intervalle en plusieurs parties et déterminer si la fonction est croissante ou décroissante dans chaque partie.
6°/ Enfin, pour obtenir la forme développée de \( f(x) \), nous utilisons la double distributivité pour développer l'expression donnée. Cela implique de multiplier chaque terme de l'expression par chaque terme du polynôme, puis de simplifier pour obtenir la forme développée de \( f(x) \).
J'espère que ces explications étape par étape vous aideront à mieux comprendre comment résoudre cet exercice. Si vous avez d'autres questions ou besoin de plus de clarifications, n'hésitez pas à demander !
