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Réponse :Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les formules de la vitesse moyenne.
1. La vitesse moyenne sur un trajet aller-retour est la distance totale parcourue divisée par le temps total mis pour parcourir ce trajet.
2. La vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est la distance totale parcourue divisée par le temps total mis pour parcourir ce trajet, mais nous allons l'exprimer en fonction de \( x \).
3. Pour que la vitesse moyenne soit supérieure à 60 km/h, nous devons trouver une valeur de \( x \) qui rendra cette expression supérieure à 60 km/h.
Commençons par les calculs :
1. Pour montrer que la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est d'environ 58,3 km/h, nous devons calculer la vitesse moyenne aller puis la vitesse moyenne retour et ensuite calculer la moyenne des deux.
La vitesse moyenne aller est de \( 50 \) km/h.
La vitesse moyenne retour est de \( x \) km/h.
La vitesse moyenne sur l'aller-retour est donc :
\[ V_{\text{moy}} = \frac{50 + x}{2} \]
2. Pour montrer que la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est \( V_{\text{moy}} = \frac{100x}{x + 50} \), nous calculons la distance totale \( D \) du trajet aller-retour et le temps total \( T \) mis pour parcourir ce trajet. Puis, la vitesse moyenne est \( \frac{D}{T} \).
Pour un aller-retour :
- Distance aller = Distance retour
- Temps aller = Temps retour
Donc, la distance totale \( D \) est deux fois la distance aller.
La distance aller est \( 50 \) km.
La distance totale \( D \) est \( 2 \times 50 = 100 \) km.
Le temps aller est \( \frac{50}{50} = 1 \) heure.
Le temps retour est \( \frac{50}{x} \) heures.
Le temps total \( T \) est \( 1 + \frac{50}{x} \) heures.
Donc, la vitesse moyenne est :
\[ V_{\text{moy}} = \frac{100}{1 + \frac{50}{x}} = \frac{100x}{x + 50} \]
3. Pour déterminer la valeur de \( x \) telle que la vitesse moyenne soit supérieure à 60 km/h, nous devons résoudre l'inégalité \( \frac{100x}{x + 50} > 60 \). Voici les étapes :
\[ \frac{100x}{x + 50} > 60 \]
\[ 100x > 60(x + 50) \]
\[ 100x > 60x + 3000 \]
\[ 40x > 3000 \]
\[ x > \frac{3000}{40} \]
\[ x > 75 \]
Donc, pour que la vitesse moyenne soit supérieure à 60 km/h, \( x \) doit être supérieur à \( 75 \).
Cela répond à toutes les parties du problème.
Explications étape par étape :Bien sûr, voici les explications étape par étape pour chaque partie du problème :
1. Calcul de la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour :
- La vitesse moyenne aller est de 50 km/h, car c'est la vitesse du tram à l'aller.
- La vitesse moyenne retour est de \( x \) km/h, car \( x \) est la vitesse du tram au retour.
- La vitesse moyenne sur l'aller-retour est la moyenne de la vitesse aller et retour, donc :
\[ V_{\text{moy}} = \frac{50 + x}{2} \]
2. Calcul de la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet :
- La distance totale parcourue lors de l'aller-retour est deux fois la distance aller, soit 100 km.
- Le temps total pour parcourir le trajet est la somme du temps aller et du temps retour, soit \( 1 + \frac{50}{x} \) heures.
- Donc, la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est :
\[ V_{\text{moy}} = \frac{100}{1 + \frac{50}{x}} = \frac{100x}{x + 50} \]
3. Détermination de la valeur de \( x \) pour une vitesse moyenne supérieure à 60 km/h :
- Nous avons l'inégalité \( \frac{100x}{x + 50} > 60 \).
- Nous résolvons cette inégalité comme suit :
\[ \frac{100x}{x + 50} > 60 \]
\[ 100x > 60(x + 50) \]
\[ 100x > 60x + 3000 \]
\[ 40x > 3000 \]
\[ x > \frac{3000}{40} \]
\[ x > 75 \]
Donc, pour que la vitesse moyenne soit supérieure à 60 km/h, la valeur de \( x \) doit être supérieure à 75 km/h.
Cela couvre toutes les étapes du problème, de la détermination de la vitesse moyenne à la résolution de l'inégalité pour trouver la valeur de \( x \).
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