1- Pour que la suite (W) soit une suite géométrique, il faut que les termes successifs soient en progression géométrique. Donc, \( W_{n+1} = r \times W_n \), où \( r \) est la raison de la suite géométrique.
En utilisant la définition de \( W_n \), nous avons :
\[
W_{n+1} = 2V_{n+1} + x = 2(V_n - 1) + x = 2V_n - 2 + x
\]
Donc, pour que \( W \) soit une suite géométrique, il faut que :
\[
2V_n - 2 + x = r \times (2V_n + x)
\]
Cela implique que \( r = \frac{{2 - x}}{{2 + x}} \). Pour que \( W_1 \) soit le premier terme de la suite géométrique, on doit avoir \( W_1 = r \times W_0 \), donc :
\[
2V_1 + x = \frac{{2 - x}}{{2 + x}} \times (2V_0 + x)
\]
En utilisant la définition de \( V_1 \), nous avons \( V_1 = \frac{{-1}}{{V_0}} \), donc :
\[
2 \left(\frac{{-1}}{{V_0}}\right) + x = \frac{{2 - x}}{{2 + x}} \times (2V_0 + x)
\]
2- Si \( x = 6 \), alors nous pouvons résoudre l'équation précédente pour trouver \( r \) et \( W_1 \).
3- Pour déterminer le sens de variation de la suite \( (W) \), nous devons examiner la raison \( r \). Si \( r > 0 \), la suite est croissante, si \( r < 0 \), elle est décroissante, et si \( r = 0 \), elle est constante.
4- En utilisant la définition de \( W_n \) et la valeur de \( x \), nous pouvons exprimer \( W_n \) en fonction de \( n \).
5- a) En utilisant les expressions de \( W_n \) et \( V_n \), nous pouvons calculer \( S_n - W_0 + W_1 + W_2 + \ldots + W_n \) en fonction de \( n \).
b) Pour trouver les limites de \( (W) \) et \( (V) \) quand \( n \) tend vers l'infini, nous devons examiner le comportement de \( W_n \) et \( V_n \) lorsque \( n \) devient très grand. Cela dépendra des valeurs de \( x \) et des conditions initiales de la suite.
