Pouvez vous me raisoudre ce dm de maths silvouplait On munit le plan d’un rep`ere orthonorm ́e (unit ́e graphique : 1 cm).
On consid`ere les points suivants : A(−3 ; 2), B(−1 ; −2), C(5; 1), D(x ; y).
−→
Exercice n ̊1
1. D ́eterminer par le calcul les coordonn ́ees du vecteur AB. Exprimer en fonction de x −→
et de y les coordonn ́ees du vecteur DC.
2. En d ́eduire que ABCD est un parall`elogramme si et seulement si x = 3 et y = 5.
3. Faire une figure qui sera compl ́et ́ee au fur et `a mesure.
4. Que peut-on conjecturer sur la nature du quadrilat`ere ABCD ?
5. Montrer a` l’aide du calcul d’un d ́eterminant que l’aire de ce parall`elogramme est de
30 cm2.
6. Montrer que AB =
√
20. Calculer de mˆeme les distances BC et AC.
7. En d ́eduire que le triangle ABC est un triangle rectangle.
8. Que peut-on d ́eduire sur la nature du quadrilat`ere ABCD ? Justifier.
9. Retrouver alors simplement la valeur en cm2 de l’aire de ABCD (on notera que si
a et b sont des r ́eels positifs, alors √a × √b = √a × b).
10. Soit I 1 ; 3 . Montrer que les points A, I et C sont align ́es. Que repr ́esente I pour
2
le quadrilat`ere ABCD ? Le prouver.
Exercice n ̊2
On consid`ere les fonctions f et g d ́efinies sur R par f(x) = x2 et g(x) = 8 − 2x
On note ℘ la parabole repr ́esentative de la fonction carr ́e f. On note D la droite repr ́esentative de la fonction affine g. On a trac ́e en annexe ces deux courbes dans le plan muni d’un rep`ere.
1. Par lecture graphique, d ́eterminer quel est le nombre de points d’intersection de ces deux courbes. Par lecture graphique, d ́eterminer l’abscisse de chacun de ces points.
2. Les abscisses de ces points d’intersection sont les solutions r ́eelles de l’ ́equation
x2 = 8 − 2x. On souhaite retrouver ces valeurs par le calcul. Autrement dit, on souhaite r ́esoudre l’ ́equation x2 = 8 − 2x, c’est a` dire x2 + 2x − 8 = 0.
(a) Soitx∈R.Montrerque(x+1)2 =9⇔x2 +2x−8=0.
(b) R ́esoudre l’ ́equation (x + 1)2 = 9. Retrouver ainsi les r ́esultats de la question 1.
(c) R ́esoudre l’in ́equation (x + 1)2 6 9. En remarquant que
(x+1)2 69⇔x2 68−2x,qu’end ́eduit-onsurlescourbes℘etD?
1

Question

Mathématiques

résolu

Pouvez vous me raisoudre ce dm de maths silvouplait On munit le plan d’un rep`ere orthonorm ́e (unit ́e graphique : 1 cm).
On consid`ere les points suivants : A(−3 ; 2), B(−1 ; −2), C(5; 1), D(x ; y).
−→
Exercice n ̊1
1. D ́eterminer par le calcul les coordonn ́ees du vecteur AB. Exprimer en fonction de x −→
et de y les coordonn ́ees du vecteur DC.
2. En d ́eduire que ABCD est un parall`elogramme si et seulement si x = 3 et y = 5.
3. Faire une figure qui sera compl ́et ́ee au fur et `a mesure.
4. Que peut-on conjecturer sur la nature du quadrilat`ere ABCD ?
5. Montrer a` l’aide du calcul d’un d ́eterminant que l’aire de ce parall`elogramme est de
30 cm2.
6. Montrer que AB =
√
20. Calculer de mˆeme les distances BC et AC.
7. En d ́eduire que le triangle ABC est un triangle rectangle.
8. Que peut-on d ́eduire sur la nature du quadrilat`ere ABCD ? Justifier.
9. Retrouver alors simplement la valeur en cm2 de l’aire de ABCD (on notera que si
a et b sont des r ́eels positifs, alors √a × √b = √a × b).
10. Soit I 1 ; 3 . Montrer que les points A, I et C sont align ́es. Que repr ́esente I pour
2
le quadrilat`ere ABCD ? Le prouver.
Exercice n ̊2
On consid`ere les fonctions f et g d ́efinies sur R par f(x) = x2 et g(x) = 8 − 2x
On note ℘ la parabole repr ́esentative de la fonction carr ́e f. On note D la droite repr ́esentative de la fonction affine g. On a trac ́e en annexe ces deux courbes dans le plan muni d’un rep`ere.
1. Par lecture graphique, d ́eterminer quel est le nombre de points d’intersection de ces deux courbes. Par lecture graphique, d ́eterminer l’abscisse de chacun de ces points.
2. Les abscisses de ces points d’intersection sont les solutions r ́eelles de l’ ́equation
x2 = 8 − 2x. On souhaite retrouver ces valeurs par le calcul. Autrement dit, on souhaite r ́esoudre l’ ́equation x2 = 8 − 2x, c’est a` dire x2 + 2x − 8 = 0.
(a) Soitx∈R.Montrerque(x+1)2 =9⇔x2 +2x−8=0.
(b) R ́esoudre l’ ́equation (x + 1)2 = 9. Retrouver ainsi les r ́esultats de la question 1.
(c) R ́esoudre l’in ́equation (x + 1)2 6 9. En remarquant que
(x+1)2 69⇔x2 68−2x,qu’end ́eduit-onsurlescourbes℘etD?
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Exercice n°1 :

1. Les coordonnées du vecteur AB sont données par (xB - xA, yB - yA). Donc AB = (-1 - (-3), -2 - 2) = (2, -4).
Pour exprimer les coordonnées du vecteur DC en fonction de x et y, on utilise les coordonnées des points C et D :
DC = (xD - xC, yD - yC) = (x - 5, y - 1).

2. ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont égaux, c'est-à-dire AB = DC et BC = AD. Donc x = 3 et y = 5.

3. Je ne peux pas fournir de figure dans ce format de texte.

4. On peut conjecturer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, car ses côtés opposés sont égaux.

5. L'aire d'un parallélogramme est donnée par le produit de la longueur de sa base par sa hauteur. Ainsi, l'aire de ABCD est donnée par |AB| * |AC| * sin(∠BAC), où sin(∠BAC) est la mesure du sinus de l'angle formé par les vecteurs AB et AC.
En utilisant la formule du déterminant pour calculer la surface du parallélogramme formé par les vecteurs AB et AC, on obtient : 1/2 * |(2 * 1) - (-4 * 5)| = 1/2 * |2 - (-20)| = 1/2 * |22| = 11.
Donc l'aire de ABCD est de 11 * 2 = 22 cm^2.

6. AB = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) = √(((-1) - (-3))^2 + ((-2) - 2)^2) = √(4 + 16) = √20.
De même, BC = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2) = √((5 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2) = √(36 + 9) = √45 et AC = √((xC - xA)^2 + (yC - yA)^2) = √((5 - (-3))^2 + (1 - 2)^2) = √(64 + 1) = √65.

7. Puisque AB^2 + BC^2 = AC^2, le triangle ABC est rectangle en A.

8. Puisque ABCD est un parallélogramme avec un angle droit en A, c'est un rectangle.

9. Comme ABCD est un rectangle, son aire est simplement le produit de ses côtés adjacents, soit AB * BC = √20 * √45 = √(20 * 45) = √900 = 30 cm^2.

10. Pour montrer que les points A, I et C sont alignés, nous pouvons vérifier si le vecteur AC est un multiple scalaire du vecteur AI. Cela signifie que AC = k * AI pour un certain scalaire k. Si k = 1, alors les points sont alignés. En remplaçant les coordonnées des vecteurs dans l'équation, nous pouvons résoudre pour k.
AC = (5 - (-3), 1 - 2) = (8, -1)
AI = (3 - (-3), 5 - 2) = (6, 3)
Pour que AC = k * AI, il faut que (8, -1) = k * (6, 3). Cela donne deux équations : 8 = 6k et -1 = 3k. En résolvant ces équations, nous trouvons k = 4/3. Puisque k n'est pas égal à 1, les points A, I et C ne sont pas alignés. Cela signifie que le point I ne représente pas le centre de ABCD.

Exercice n°2 :
1. Par lecture graphique, on voit qu'il y a deux points d'intersection entre les courbes. Leurs abscisses sont approximativement x = -1 et x = 4.

2.
a) En développant (x + 1)^2, on obtient x^2 + 2x + 1. Donc (x + 1)^2 = 9 ⇔ x^2 + 2x + 1 = 9 ⇔ x^2 + 2x - 8 = 0.

b) Pour résoudre l'équation (x + 1)^2 = 9, on pose (x + 1)^2 - 9 = 0. Cette équation équivaut à l'équation trouvée à la question précédente. En résolvant x^2 + 2x - 8 = 0, on trouve les solutions x = -4 et x = 2.

c) En résolvant l'inéquation (x + 1)^2 ≤ 9, on a (x + 1)^2 - 9 ≤ 0 ⇔ x^2 + 2x - 8 ≤ 0. Cela signifie que les valeurs de x pour lesquelles (x + 1)^2 ≤ 9 sont les mêmes que celles pour lesquelles x^2 + 2x - 8 ≤ 0. Cela indique que les points d'intersection entre les courbes de ℘ et D se trouvent dans la zone où la parabole est en dessous de la droite.