Bien sûr
1. Pour calculer la probabilité d'avoir 1 seul gaucher sur un groupe de 3 enfants, nous pouvons utiliser la formule de la combinaison. La formule générale pour la probabilité d'un événement est le nombre de résultats favorables divisé par le nombre total de résultats possibles. Dans ce cas, le nombre total de résultats possibles est le nombre total de façons de choisir 3 enfants parmi un groupe, ce qui équivaut à \(C(3,3) = 1\). Le nombre de façons d'avoir exactement 1 gaucher parmi les 3 enfants est le nombre de façons de choisir 1 gaucher parmi 3 gauchers et 2 droitiers parmi 97 enfants, soit \(C(3,1) \times C(97,2)\). Ainsi, la probabilité d'avoir 1 seul gaucher est :
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{C(3,1) \times C(97,2)}{C(3,3)} \]
2. La probabilité d'avoir 3 gauchers sur un groupe de 3 enfants est directe puisque tous les enfants doivent être gauchers. Comme chaque enfant a une probabilité de 12 % d'être gaucher, la probabilité d'avoir 3 gauchers est \(0.12^3\).
3. Pour calculer l'espérance de la variable aléatoire qui compte le nombre de gauchers dans ce groupe de 3 enfants, nous devons multiplier chaque nombre possible de gauchers par sa probabilité et ensuite additionner les produits. Donc, pour ce cas :
\[ E(X) = 0 \times P(0 \text{ gaucher}) + 1 \times P(1 \text{ gaucher}) + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 3 \times P(3 \text{ gauchers}) \]
Maintenant, je vais effectuer ces calculs pour vous.
1. Pour calculer la probabilité d'avoir 1 seul gaucher sur un groupe de 3 enfants :
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{C(3,1) \times C(97,2)}{C(3,3)} \]
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{3 \times \frac{97!}{2!(97-2)!}}{1} \]
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{3 \times \frac{97!}{2! \times 95!}}{1} \]
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{3 \times \frac{97 \times 96}{2}}{1} \]
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{3 \times 4656}{2} \]
\[ P(1 \text{ gaucher}) = \frac{13968}{2} \]
\[ P(1 \text{ gaucher}) = 6984 \]
Donc, la probabilité d'avoir 1 seul gaucher sur un groupe de 3 enfants est de \( \frac{6984}{1000000} \) ou \( 0.006984 \).
2. La probabilité d'avoir 3 gauchers sur un groupe de 3 enfants est \( 0.12^3 = 0.001728 \).
3. Pour calculer l'espérance de la variable aléatoire qui compte le nombre de gauchers dans ce groupe de 3 enfants :
\[ E(X) = 0 \times P(0 \text{ gaucher}) + 1 \times P(1 \text{ gaucher}) + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 3 \times P(3 \text{ gauchers}) \]
\[ E(X) = 0 \times (1 - P(1 \text{ gaucher}) - P(2 \text{ gauchers}) - P(3 \text{ gauchers})) + 1 \times P(1 \text{ gaucher}) + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 3 \times P(3 \text{ gauchers}) \]
\[ E(X) = 0 \times (1 - 0.006984 - P(2 \text{ gauchers}) - 0.001728) + 1 \times 0.006984 + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 3 \times 0.001728 \]
\[ E(X) = 0 \times (1 - 0.006984 - P(2 \text{ gauchers}) - 0.001728) + 0.006984 + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 0.005184 \]
\[ E(X) = 0 \times (0.986288 - P(2 \text{ gauchers})) + 0.006984 + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 0.005184 \]
\[ E(X) = 0.006984 + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) + 0.005184 \]
\[ E(X) = 0.012168 + 2 \times P(2 \text{ gauchers}) \]
Maintenant, pour trouver \( P(2 \text{ gauchers}) \), nous devons soustraire les probabilités de \( P(1 \text{ gaucher}) \) et \( P(3 \text{ gauchers}) \) de 1 :
\[ P(2 \text{ gauchers}) = 1 - P(1 \text{ gaucher}) - P(3 \text{ gauchers}) \]
\[ P(2 \text{ gauchers}) = 1 - 0.006984 - 0.001728 \]
\[ P(2 \text{ gauchers}) = 0.991288 \]
Maintenant, nous pouvons calculer \( E(X) \) :
\[ E(X) = 0.012168 + 2 \times 0.991288 \]
\[ E(X) = 0.012168 + 1.982576 \]
\[ E(X) = 1.994744 \]
Donc, l'espérance de la variable aléatoire qui compte le nombre de gauchers dans ce groupe de 3 enfants est de \( 1.994744 \).
