Besoin d'aide pour un DM en seconde Exercice 1: La piscine de John John désire faire construire une piscine rectangulaire sur sa propriété. Il s'impose les contraintes sui- vantes: la piscine devra être entourée d'une zone recouverte de dalles sur une largeur de 2 m; la surface totale (piscine et dalles) sera un rectangle d'aire 300~m^{2} On souhaite à l'aide des questions suivantes, déterminer les dimensions de la piscine d'aire maximale. A) Cas particulier: AD=10 mètres 1. Quelle est la longueur AB si la longueur AD=10m^{7} 2. En déduire l'aire de la piscine lorsque la longueur AD=10~m B) Cas général : AD=x mètres. 1. Exprimer AB en fonction de x. 2. Pour quelles valeurs de x la fabrication de la piscine est-elle possible? Expliquer votre réponse. 3. (a) Montrer que la longueur MN=\frac{300}{x}-4 (b) Montrer que la longueur QM=x-4 (c) On note A la fonction qui à x associe l'aire de la piscine exprimée en m^{2} En déduire que l'expression de la fonction A sur son ensemble de définition est: A(x)=316-4x-\frac{1200}{x}. 4. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. 4 A(x) 10 20 30 156 40 50 60 70 75 5. A l'aide du tableau de valeurs, représenter l'aire de la piscine A en fonction de x sur une feuille à petits carreaux ou sur papier millimétré. Donner un titre à votre graphique. On prendra 1 cm pour 5 m en abscisse et 1 cm pour 10~m^{2} en ordonnée. 6. En utilisant votre graphique, dresser le tableau de variations de la fonction A. 7. En déduire pour quelle valeur de x la piscine est-elle d'aire maximale? Quelle est cette aire maxi- male? 8. Un ami de John lui assure que sa piscine aura une aire maximale si elle est de forme carrée.. En admettant cette affirmation, calculer la valeur exacte de x pour laquelle l'aire est maximale et en déduire que l'aire maximale vaut 316-80\sqrt{3}m^{2} C Exercice 2: Comparaison d'aires ABCD est un rectangle tel que AB=8 et AD 10. M est un point du segment [AD] et N est le point de [BC] tel que ABNM est un rectangle. On pose x = AM 1)