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Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et
conditionne de 0 à 50 kg de ce produit par semaine durant la période de
production de la truffe.
On désigne par x le nombre de kilogrammes de truffes traitées
chaque semaine et par f(x) le coût unitaire de revient en euros.
Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450 euros.
On admet dans la suite du problème que la fonction f est définie
sur [0; 50] par f(x)= x²- 75x+1650.
1. Justifier que le coût de production total C(x) pour x kg de truffes
est C(x)=x³-75x²+1650x. (manquait le cube)
C(x) = f(x) * x = x²- 75x+1650 * x = x³ - 75x² + 1650x
2. Exprimer le bénéfice B(x) réalisé par le producteur pour x kg
de truffes conditionnés et vendus.
B(x) = R(x) - C(x) = 450x - (x³ - 75x² + 1650x)
= -x³ + 75x² - 1200x
3. Calculer la dérivée B'(x) et étudier son signe.
B'(x) = -3x² + 150x - 1200
B'(x) = -3 (x-10) (x-40)
en ayant calculé delta et racines
donc négatif en dehors des racines et positif à l'intérieur
4. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l'intervalle [0; 50].
x 0 10 40 50
B' - 0 + 0 -
B D C D
5. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal?
Quel est alors ce bénéfice maximal?
6. A l'aide de votre calculatrice (courbe, tableau de valeurs de la fonction B), déterminer pour quelles productions l'exploitation est bénéficiaire.
à toi :)
