Réponse :
Déterminer l’expression de la fonction polynôme de degré 2 qui admet -3,1 et 4,5 pour racines et telle que g(5)=41
g(x) = a(x - x1)(x - x2)
= a(x + 3.1)(x - 4.5)
g(5) = 41 ⇔ a(5 + 3.1)(5 - 4.5) = 41
4.05a = 41
a = 41/4.05
g(x) = 41/4.05(x + 3.1)(x - 4.5)
= 41/4.05(x² - 1.4x - 13.95)
Explications étape par étape :
Bonsoir,
Soit [tex]g[/tex] une fonction du second degré.
Elle peut alors s'écrire sous la forme :
[tex]g(x)=ax^{2} +bx+c[/tex] où [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] sont trois réels tels que [tex]a\neq 0[/tex].
L'objectif est de déterminer ces trois réels.
On sait que [tex]x_{1}=-3,1[/tex] et [tex]x_{2}=4,5[/tex] sont des racines.
En notant [tex]\Delta[/tex] le discriminant de la fonction polynôme, on a :
[tex]x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} +\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\\boxed{x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a}}[/tex]
[tex]\boxed{x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}}[/tex]
De plus, [tex]g(5)=41[/tex], donc :
[tex]25a+5b+c=41[/tex]
soit : [tex]c=41-25a-5b[/tex]
On remplace [tex]c[/tex] par l'expression précédente dans le produit des racines :
[tex]x_{1}\times x_{2}=\dfrac{41-25a-5b}{a}[/tex]
Et on a également :
[tex]b=-a(x_{1}+x_{2})[/tex]
Donc :
[tex]x_{1}\times x_{2}=\dfrac{41-25a+5(a(x_{1}+x_{2}))}{a}\\\\\\x_{1}\times x_{2}= \dfrac{a(\frac{41}{a}-25+5x_{1}+5x_{2}) }{a} \\\\\\x_{1}\times x_{2}+25-5x_{1}-5x_{2}=\dfrac{41}{a} \\\\\\a=\dfrac{41}{x_{1}\times x_{2}+25-5x_{1}-5x_{2}}[/tex]
Après calcul, on obtient :
[tex]\boxed{a=\dfrac{820}{81} }[/tex]
On en déduit que :
[tex]b=-a(x_{1}+x_{2})\\\\\boxed{b=-\dfrac{1148}{81} }[/tex]
Et :
[tex]c=x_{1}\times x_{2}\times a \\\\\boxed{c=-\dfrac{1271}{9}}[/tex]
Ainsi, l'expression de la fonction polynôme du second degré est :
[tex]\boxed{g(x)=\dfrac{820}{81}x^{2} -\dfrac{1148}{81}x-\dfrac{1271}{9} }[/tex]
Pour se corriger, il est possible de calculer les images de -3,1, 4,5 et 5. On obtient respectivement 0, 0 et 41, ce qui valide l'expression obtenue.
En espérant t'avoir aidé.
