Un magicien place 5 foulards à pois et 7 foulards à tissus écossais dans un grand chapeau noir et vide. Un volontaire, choisi dans le public par tirage au sort, monte sur scene, prend un objet au hasard dans le chapeau et le place dans la poche gauche de son pantalon de velours. Il prend ensuite un deuxième objet dans le chapeau (toujours au hasard) puis le place dans la poche droite de sa veste en tweed. Si les deux foulards ont le même motif, le volontaire gagne $9, sinon il perd $8. On note P l'évènement "le foulard est à pois" et E l'évènement "le foulard est écossais".
1) Calculer l'espérance de gain du joueur. Le jeu est-il équitable?
2) En retournant à sa place, le volontaire se demande si le jeu ne lui serait pas plus favorable s'il remettait le foulard dans le chapeau avant de prendre le deuxième. A-t-il raison?

Un magicien rajoute 3 foulards à fleurs et N foulards à tissu écossais dans le chapeau et demande à un autre volontaire (qui par le plus grand des hasards s'avère être le père du premier volontaire) de prendre un seul objet dans le chapeau. Si c'est un foulard écossais, il gagne $7. Sinon il perd $10.
3) Montrer que l'espérance de gain du volontaire est de E = (7N-31) / N + 15
4) Quelle est la valeur minimale de N pour laquelle le jeu est favorable au volontaire?

Pour cette dernière prestation, le magicien vide à nouveau le chapeau, donne les 3 foulards à fleurs à son assistante Dorothy, replace les 5 foulards à poids dans le chapeau ainsi qu'un nombre p de foulards écossais. Un troisième volontaire monte sur scène et choisit successivement et sans remise 2 objets dans le chapeau.
5) Donner la loi de probabilité de X et en déduire que E(X)= (-4p^2+24p+160)/ (p+5)(p+4)
6) A partir de quelle valeur de p, le jeu devient-il défavorable au joueur? Justifier.