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résolu

Exercice d'ouverture.
Le paradoxe de Condorcet
C'est une année électorale dans la nation Tuation, et les habitants ont le choix parmi
trois candidats: Anna (A), Lise (B), et Lassie (C).
1) Après un rapide sondage, il est établi que les votants préféreraient Anna à Lise d'une
part, mais aussi qu'ils préféreraient Lassie à Anna d'autre part.
Le second tour oppose Lassie à Lise, qu'aurait-on envie de conclure ?
Nous allons voir que ce n'est pas forcément le cas. Ce paradoxe (résultat surprenant en
première apparence) est dû à Nicolas Condorcet, qui l'a proposé en 1785 dans son
ouvrage « Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à
la pluralité des voix »>.
2) Admettons que le vote concerne 60 personnes, et que :
- 23 votants ont pour ordre de préférence Anna, puis Lise, puis Lassie (noté A>B>C)
- 17 votants ont pour ordre de préférence B > C>A
- 2 votants ont pour ordre de préférence B > A > C
- 10 votants ont pour ordre de préférence C> A > B
- 8 votants ont pour ordre de préférence C> B>A
a/ Vérifier qu'une majorité des 60 votants préfèrent A à B, et qu'une majorité des 60
votants préfèrent C à A.
b/ Vérifier qu'une majorité des 60 votants préfèrent B à C.
c/ Comment expliquer ce dernier constat ?

Répondre :

YSSSSSDDEN
1) Si les votants préfèrent Anna à Lise et Lassie à Anna, cela ne signifie pas nécessairement que Lassie est préférée à Lise. Ce paradoxe est connu sous le nom de paradoxe de Condorcet.

2)
a/ Pour vérifier les préférences des votants :
- 23 votants préfèrent Anna à Lise (A > B)
- 17 votants préfèrent Lise à Lassie (B > C)
- 2 votants préfèrent Lise à Anna, puis Anna à Lassie (B > A > C)
- 10 votants préfèrent Lassie à Anna, puis Anna à Lise (C > A > B)
- 8 votants préfèrent Lassie à Lise, puis Lise à Anna (C > B > A)

Nous pouvons constater qu'une majorité des 60 votants préfèrent Anna à Lise (23 + 2 + 10 = 35) et une majorité préfèrent Lassie à Anna (17 + 8 = 25).

b/ Une majorité des 60 votants préfèrent Lise à Lassie (23 + 2 + 10 = 35).

c/ Ce dernier constat peut être expliqué par le fait que les préférences individuelles ne sont pas toujours transitives. Bien que individuellement, certains votants préfèrent A à B, B à C et C à A, lorsque ces préférences sont agrégées, elles peuvent conduire à des résultats contradictoires. Cela montre les limites du système de vote par majorité et met en évidence l'importance des méthodes de vote plus sophistiquées pour garantir des résultats justes et cohérents.
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