Réponse:
Pour étudier la parité des fonctions données, nous allons examiner si elles satisfont à la propriété de parité \( f(-x) = f(x) \) pour tout \( x \) dans leur domaine.
1) \( f(x) = x^4 \) ; \( I = \mathbb{R} \)
Pour cette fonction :
\[ f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x) \]
La fonction est paire car \( f(-x) = f(x) \) pour tout \( x \) dans \( \mathbb{R} \).
2) \( f(x) = x^3 - 5x \) ; \( I = \mathbb{R} \)
Pour cette fonction :
\[ f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x \]
La fonction n'est ni paire ni impaire car \( f(-x) \) n'est ni égal ni opposé à \( f(x) \) pour tout \( x \) dans \( \mathbb{R} \).
3) \( f(x) = x \sqrt{x^2 + 1} \) ; \( I = \mathbb{R} \)
Pour cette fonction :
\[ f(-x) = -x \sqrt{(-x)^2 + 1} = -x \sqrt{x^2 + 1} \]
La fonction est impaire car \( f(-x) = -f(x) \) pour tout \( x \) dans \( \mathbb{R} \).
En résumé :
1) La fonction \( f(x) = x^4 \) est paire.
2) La fonction \( f(x) = x^3 - 5x \) n'est ni paire ni impaire.
3) La fonction \( f(x) = x \sqrt{x^2 + 1} \) est impaire.
