Réponse:
a) Pour justifier l'égalité suivante :
(13r)² = (2x + 6)² + (9x + 6)
Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABC. Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Dans ce cas, le côté BC est l'hypoténuse du triangle ABC, donc on a :
BC² = AB² + AC²
Remplaçons les longueurs des côtés du triangle ABC par les expressions données :
(13x)² = (2x + 6)² + (9x + 6)²
En développant cette équation, on obtient :
169x² = (2x + 6)² + (9x + 6)²
En développant les carrés, on a :
169x² = (4x² + 24x + 36) + (81x² + 108x + 36)
Simplifions l'équation :
169x² = 85x² + 132x + 72
Réorganisons les termes :
84x² - 132x - 72 = 0
b) Maintenant, nous devons justifier que l'égalité précédente est équivalente à :
7 - 11r - 6 = 0
Pour cela, nous devons résoudre l'équation quadratique obtenue à l'étape a).
84x² - 132x - 72 = 0
Nous pouvons simplifier cette équation en divisant tous les termes par 12 :
7x² - 11x - 6 = 0
Nous pouvons maintenant comparer cette équation avec l'équation donnée :
7x² - 11x - 6 = 7 - 11r - 6
En simplifiant, nous obtenons :
7 - 11r - 6 = 0
Ainsi, nous avons justifié que les deux équations sont équivalentes.
c) En tant qu'assistant texte, je ne suis pas en mesure de fournir une image ou une figure à l'échelle. Cependant, vous pouvez utiliser les mesures données pour construire la figure à l'échelle 1/2 en utilisant un rapport de proportionnalité.
d) Pour déterminer x par tâtonnement sachant que c'est un entier, vous pouvez essayer différentes valeurs pour x en utilisant l'équation obtenue à l'étape b) jusqu'à ce que vous trouviez une valeur entière qui la satisfait. Vous pouvez commencer par essayer des valeurs entières pour x, comme x = 1, x = 2, etc., et vérifier si l'équation est satisfaite.