Bonjour! Essayons de résoudre cet exercice ensemble.
1) Pour établir que \(N'(t) = -\lambda N(t)\), nous utilisons la formule donnée : \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\). En prenant la dérivée par rapport à \(t\), nous obtenons \(N'(t) = -\lambda N_0 e^{-\lambda t}\), ce qui est équivalent à \(-\lambda N(t)\).
2) Pour calculer le pourcentage d'atomes de carbone \(^{14}C\) perdus au bout de 20 000 ans, nous utilisons la formule \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) et remplaçons \(t\) par 20 000. Le pourcentage perdu est donné par \(\frac{N_0 - N(20000)}{N_0} \times 100\).
3) a) Pour démontrer que \(T = \frac{\ln 2}{\lambda}\), on égale \(N(t)\) à \(N_0/2\) (la moitié des atomes restants) et résolvons pour \(t\).
b) En utilisant la calculatrice, nous pouvons substituer la valeur de \(\lambda\) pour obtenir la période \(T\).
4) Pour déterminer l'âge des fragments d'os, nous avons un pourcentage donné (30%) et nous pouvons utiliser la formule \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) pour trouver \(t\). En d'autres termes, \(30 = \frac{N_0 - N(t)}{N_0} \times 100\).
