Réponse:
Pour résoudre ce problème, commençons par exprimer la tangente des angles AMV et CMB en fonction de la longueur \( x \).
1) La tangente d'un angle dans un triangle rectangle peut être exprimée comme le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent à l'angle.
Dans le triangle \( AMV \), la tangente de l'angle \( AMV \) est donnée par :
\[ \tan(AMV) = \frac{AV}{AM} \]
Dans le triangle \( CMB \), la tangente de l'angle \( CMB \) est donnée par :
\[ \tan(CMB) = \frac{CM}{CB} \]
En utilisant les données fournies, nous pouvons écrire ces tangentes en fonction de \( x \) :
\[ \tan(AMV) = \frac{320}{1200 - x} \]
\[ \tan(CMB) = \frac{x}{480} \]
2) Comme les mesures des angles AMV et CMB sont égales, les tangentes de ces angles doivent être égales. Ainsi, nous avons :
\[ \frac{320}{1200 - x} = \frac{x}{480} \]
3) Pour résoudre cette équation, nous allons d'abord la simplifier :
\[ 320 \times 480 = 1200x - x^2 \]
\[ 153600 = 1200x - x^2 \]
En réarrangeant l'équation, nous obtenons :
\[ x^2 - 1200x + 153600 = 0 \]
Maintenant, nous avons une équation quadratique. Nous pouvons utiliser la formule quadratique pour résoudre cette équation. En appliquant la formule quadratique, nous obtenons les solutions pour \( x \).
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Où \( a = 1 \), \( b = -1200 \), et \( c = 153600 \).
En substituant ces valeurs, nous obtenons :
\[ x = \frac{-(-1200) \pm \sqrt{(-1200)^2 - 4(1)(153600)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{1200 \pm \sqrt{1440000 - 614400}}{2} \]
\[ x = \frac{1200 \pm \sqrt{825600}}{2} \]
\[ x = \frac{1200 \pm 880}{2} \]
Les deux solutions pour \( x \) sont donc :
\[ x_1 = \frac{1200 + 880}{2} = 1040 \]
\[ x_2 = \frac{1200 - 880}{2} = 160 \]
Donc, les valeurs possibles pour \( x \) sont \( 1040 \) et \( 160 \) pixels.
