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Réponse:
Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les principes de l'équilibre statique et la loi de Hooke pour les ressorts.
1. Tout d'abord, déterminons la composante verticale du poids de la barre \( P_v \) qui agit sur le point \( O \). Étant donné que la barre est homogène, son centre de gravité \( G \) se situe au milieu, donc \( OG = \frac{1}{2} OA = 25 \, \text{cm} \).
\[ P_v = P \times \frac{OG}{OA} = 20 \, \text{N} \times \frac{25 \, \text{cm}}{50 \, \text{cm}} = 10 \, \text{N} \]
2. En équilibre, la composante verticale de la tension dans le fil \( T_v \) doit équilibrer la composante verticale du poids \( P_v \), donc \( T_v = 10 \, \text{N} \).
3. La tension dans le fil \( T \) est également la force de traction qui étire le ressort. La loi de Hooke nous dit que la force de traction \( T \) est proportionnelle à l'allongement \( R \) du ressort :
\[ T = k \times R \]
Où \( k = 400 \, \text{N/m} \) est la constante de raideur du ressort.
4. L'angle \( \alpha \) que fait la barre avec la verticale détermine la composante horizontale de la tension dans le fil \( T_h \). Cette composante \( T_h \) est équilibrée par la force de réaction du support \( N \) qui passe par \( O \).
5. La composante horizontale de la tension \( T_h \) peut être calculée en utilisant la trigonométrie :
\[ T_h = T \times \sin(\alpha) \]
6. Pour que la barre soit en équilibre, la somme des moments autour de \( O \) doit être nulle. Cela signifie que le moment produit par la composante verticale de la tension \( T_v \) doit équilibrer le moment produit par la composante horizontale de la tension \( T_h \).
\[ T_h \times OA = T_v \times OG \]
\[ T \times \sin(\alpha) \times OA = T_v \times OG \]
7. En remplaçant les expressions de \( T \) et de \( T_v \), nous obtenons :
\[ k \times R \times \sin(\alpha) \times OA = P \times \frac{OG}{OA} \]
\[ k \times R \times \sin(\alpha) \times OA = P_v \]
\[ k \times R \times \sin(\alpha) \times OA = 10 \, \text{N} \]
8. En résolvant cette équation, nous pouvons trouver \( R \), l'allongement du ressort lorsque le système est en équilibre.
Une fois que nous avons trouvé \( R \), nous pouvons vérifier si \( R \) dépend de l'angle \( \alpha \). Si l'allongement du ressort \( R \) dépend de l'angle \( \alpha \), cela signifie que l'allongement varie lorsque l'angle \( \alpha \) change, sinon, il ne dépend pas de l'angle \( \alpha \). Pour vérifier cela, vous pouvez essayer de dériver l'équation obtenue par rapport à \( \alpha \) et voir si le résultat est nul.
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