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Réponse:
Pour déterminer la vitesse minimale en A pour que le wagon parcourt la totalité de la boucle avec une vitesse supérieure à 20 km/h, nous pouvons utiliser le principe de conservation de l'énergie mécanique.
L'énergie mécanique totale du système, composée de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, est conservée si l'action de l'air est négligée. Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit :
\[ E_{\text{cin}} + E_{\text{pot}} = \text{Constante} \]
L'énergie cinétique \( E_{\text{cin}} \) du wagon à un point donné est donnée par \( \frac{1}{2} m v^2 \), où \( m \) est la masse du wagon et \( v \) est sa vitesse. L'énergie potentielle \( E_{\text{pot}} \) du wagon à un point donné est donnée par \( mgh \), où \( h \) est la hauteur à laquelle se trouve le wagon par rapport à un point de référence.
Dans ce cas, nous utiliserons le point le plus bas de la piste comme point de référence pour l'énergie potentielle. Ainsi, lorsque le wagon atteint le point A, sa vitesse est maximale et toute l'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique. Nous avons alors :
\[ \frac{1}{2} m v_A^2 = mgh \]
où \( v_A \) est la vitesse du wagon en A, \( m \) est la masse du wagon, \( g \) est l'accélération due à la gravité (approximativement \( 9,8 \, \text{m/s}^2 \)) et \( h \) est la hauteur à laquelle se trouve le wagon par rapport au point de référence (40 m).
Résolvons cette équation pour trouver \( v_A \) :
\[ v_A = \sqrt{2gh} \]
\[ v_A = \sqrt{2 \times 9,8 \times 40} \]
\[ v_A = \sqrt{784} \]
\[ v_A = 28 \, \text{m/s} \]
Ainsi, la vitesse minimale en A pour que le wagon parcourt la totalité de la boucle avec une vitesse supérieure à 20 km/h est de \( 28 \, \text{m/s} \).
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